Разложение по сингулярным значениям (SVD) — это мощный математический инструмент, используемый в различных приложениях, таких как сжатие данных, обработка изображений и системы рекомендаций. В этой статье мы предоставим удобное для начинающих введение в SVD, включая его определение, свойства и способы его поиска.

Определение

Разложение по сингулярным числам (SVD) — это разложение матрицы на произведение трех матриц: U, Σ и V*. Здесь U и V — ортогональные матрицы, а Σ — диагональная матрица, содержащая сингулярные значения исходной матрицы. Сингулярные числа — это положительные действительные числа, которые описывают силу линейных отношений между столбцами и строками матрицы.

Характеристики

  1. SVD представляет собой разложение любой матрицы на произведение трех матриц, что делает его полезным для различных матричных операций и задач анализа данных.
  2. SVD матрицы уникален, что означает, что для любой заданной матрицы можно вычислить только одно SVD.
  3. Сингулярные значения в SVD матрицы описывают силу линейных отношений между столбцами и строками матрицы, что делает SVD полезным инструментом для уменьшения размерности и сжатия данных.
  4. Ортогональные матрицы U и V в SVD обеспечивают новую основу для матрицы, которую можно использовать для поворота и отражения данных.

В поисках СВД

Чтобы найти SVD матрицы, мы можем использовать метод разложения по собственным значениям или метод степенной итерации. Шаги, связанные с этими методами, выходят за рамки этой статьи, но вы можете узнать о них больше в учебниках по линейной алгебре или на онлайн-ресурсах.

Приложения

SVD имеет множество важных приложений в различных областях, включая сжатие данных, обработку изображений и системы рекомендаций. Вот некоторые примеры таких приложений:

  1. Сжатие данных: сохраняя в SVD только самые большие сингулярные значения и соответствующие сингулярные векторы, мы можем уменьшить размер данных, сохраняя при этом большую часть важной информации.
  2. Обработка изображений: SVD можно использовать для шумоподавления изображений, удаления фонового шума и извлечения важных функций из изображений.
  3. Системы рекомендаций: SVD можно использовать для разложения матрицы пользовательских элементов на три матрицы, которые затем можно использовать для предоставления рекомендаций пользователям на основе их прошлого поведения.

Обработка изображений

При обработке изображений SVD используется для шумоподавления изображений, удаления фонового шума и извлечения важных функций из изображений. Например, SVD можно использовать для уменьшения количества цветов в изображении без ущерба для важной информации. Это делается путем сохранения только самых больших сингулярных значений в SVD, которые соответствуют наиболее важным функциям изображения.

Рекомендательные системы

В рекомендательных системах SVD используется для разложения матрицы пользовательских элементов на три матрицы: U, Σ и V*. Матрица пользовательских элементов — это матрица, содержащая предпочтения пользователей в отношении различных элементов. Разбивая матрицу пользовательских элементов на три матрицы, мы можем давать пользователям рекомендации на основе их прошлого поведения.

Например, предположим, что у нас есть матрица пользовательских элементов, которая содержит оценки разных пользователей для разных фильмов. Выполнив SVD на этой матрице, мы можем получить три матрицы, описывающие отношения между пользователями, фильмами и оценками. Матрица U описывает предпочтения пользователей, матрица Σ описывает важность различных фильмов, а матрица V* описывает отношения между оценками и фильмами. Используя эти матрицы, мы можем давать рекомендации пользователям, находя похожих пользователей и предлагая фильмы, которые могут им понравиться.

В заключение разложение по отдельным значениям (SVD) имеет множество важных применений в различных областях, включая обработку изображений и системы рекомендаций. Разлагая матрицы на произведение трех матриц, SVD предоставляет ценную информацию о взаимосвязях между элементами данных, которую можно использовать для принятия обоснованных решений.

Вот несколько ссылок, которые могут быть полезны для начинающих, чтобы узнать о разложении по сингулярным значениям (SVD):

  1. Введение в разложение по отдельным значениям (SVD) для машинного обучения, Джейсон Браунли, доктор философии. В этой статье представлено краткое введение в SVD, включая его определение, свойства и приложения. URL: https://machinelearningmastery.com/singular-value-decomposition-for-machine-learning/
  2. Учебник по декомпозиции сингулярных значений Виктора Лавренко. В этом руководстве представлено всестороннее введение в SVD, включая его мотивацию, определение, свойства и приложения. URL: https://www.cs.cornell.edu/~vlady/L1/pagerank.pdf
  3. Нежное введение в декомпозицию единичных значений для машинного обучения Джейсона Чоу. В этой статье представлен удобный для начинающих введение в SVD и его приложения в машинном обучении. URL: https://towardsdatascience.com/a-gentle-introduction-to-singular-value-decomposition-for-machine-learning-7fbb3a239b2d
  4. Практическое руководство по разложению по сингулярным значениям (SVD) в рекомендательных системах, Файзан Шейх. В этой статье представлено практическое руководство по использованию SVD в рекомендательных системах. URL: https://towardsdatascience.com/a-practical-guide-to-singular-value-decomposition-svd-in-recommender-systems-3e17be1b9e9
  5. Разложение по сингулярным числам и его приложения Йованы Стоилкович. В этой статье представлен обзор SVD и его приложений, включая системы обработки изображений и рекомендации. URL: https://towardsdatascience.com/singular-value-decomposition-and-its-applications-8f7e2cb3d444

Эти ссылки являются хорошей отправной точкой для изучения разложения по отдельным значениям (SVD). Они охватывают широкий спектр тем, от основ SVD до его приложений в машинном обучении и науке о данных.