Я хочу предварить это с моей мотивацией для того, чтобы написать об этом материале. По своей сути математика не сводится к использованию формул или запоминанию методов. Речь идет о решении головоломок, и этому навыку можно научиться, как и чему-либо еще. Мне очень не нравится идея, что нужно быть гением, чтобы заниматься математикой, и я думаю, что это отпугивает многих светлых умов заниматься чем-то, что я нахожу чрезвычайно интересным :).

Лично я новичок в математике, и я думаю, что это делает мои записи и объяснения более неясными, чем они должны быть — большинство вещей, о которых я буду писать, имеют довольно четкое геометрическое или теоретико-множественное объяснение, но донести его сложнее. чем я ожидал, что это будет. Если у вас есть интерес к какой-либо из этих тем, свяжитесь со мной, и у меня есть доступные ресурсы! Теперь, чтобы начать.

Представьте, что у вас есть два мяча одинакового размера.

Затем разделите их на бесконечное количество частей. Есть способ собрать эти кусочки вместе таким образом, чтобы эти кусочки стали одним шаром размером с один из ваших первоначальных шаров.

Что, спросите вы? Это невозможно, восклицаете вы. (Или нет. Вы, наверное, сидите в постели и просматриваете это с бесстрастным лицом. Вот так я читаю статьи на Медиуме). Грубо говоря, это потому, что мы не очень хорошо определили «размер». Мы обнаружим, что наше интуитивное определение размера имеет некоторые противоречивые свойства, поэтому такое построение возможно.

Позвольте мне объяснить, как. Мяч находится в 3-х мерном пространстве, поэтому для простоты я приведу пример в 1-мерном пространстве, с вещественными числами. Кажется разумным, что интервал [0, 1] имеет «объем» 1, а интервал [3.5, 4] имеет «объем» 1/2. Теперь мы можем разделить [0,1] на [0, 1/2] и [1/2, 1], объемы которых объединяются, чтобы дать вам объем [0,1]. Вы поняли идею.

Теперь возьмем интервал [0, 1]. Мы хотим разделить этот интервал на множества. Мы говорим х-у, если х-у — рациональное число. Это разбивает [0,1] на то, что мы называем классами эквивалентности (мы говорим, что x эквивалентен y), а множество всех эквивалентных элементов является классом эквивалентности. Интервал [0,1] целиком разбит на классы эквивалентности. Выберите множество, которое содержит ровно один элемент из каждого класса эквивалентности, назовите его N. Пусть R будет множеством всех рациональных чисел от 0 до 1. Пусть N_r будет множеством всех элементов в N, сдвинутых вправо на r, и модуль 1.

Я утверждаю, что мы просто разбили этот интервал на бесконечное количество частей, и каждая часть содержит одинаковое «количество» элементов. Это потому, что каждый новый набор представляет собой рациональный сдвиг N, а рациональных чисел бесконечное множество. Также обратите внимание, что все наши наборы не пересекаются, поэтому мы действительно разделили интервал! Итак, поскольку каждый набор имеет одинаковый размер, кажется естественным, что они будут иметь одинаковый размер. Но… таких множеств в [0,1] бесконечное количество, и объединением этих множеств является интервал [0,1]. Итак, если размер одного из этих наборов равен 0, то размер [0,1] должен быть суммой размеров всех этих наборов, верно… но это будет 0, что не имеет никакого смысла.

С другой стороны, если размер этих наборов равен некоторому числу эпсилон больше 0, то, поскольку их бесконечное количество, наша сумма должна быть больше 2. Но мы также знаем, что размер [0, 1] должно быть меньше 1 и, в частности, 1 ‹ 2, поэтому сумма должна быть меньше двух. Таким образом, мы делаем вывод, что размер [0,1] должен быть суммой размеров наборов, который больше 2 и меньше 2, и, следовательно, должен быть равен двум. Поэтому мы просто разобрали [0,1] на части размером 2 всего!

Сейчас все, что я сказал, звучит как полная ерунда, но точно не разберешь, почему — звучит логично на каждом шагу. На самом деле здесь происходит то, что мы предположили, что у нас есть хороший способ измерения наборов. В частности, мы предположили, что у нас есть функция, которая отображает наборы в числа, такие что:

  1. Если у нас есть непересекающиеся множества, объединением которых является какое-то другое множество, сумма размеров равна сумме размеров.
  2. Если у нас есть множество, и мы переведем его на определенную величину, его размер не изменится.
  3. Единичный интервал [0,1] имеет размер 1.
  4. Все подмножества имеют некоторый размер.

Все эти требования кажутся совершенно разумными, но на самом деле они противоречат друг другу. Мы решаем эту проблему, отбрасывая ограничение 4 — мы предполагаем, что только определенные подмножества измеримы. Здесь наше подмножество N не должно быть измеримым.

Это основа теории меры — попытаться выяснить, какие множества мы можем измерить, а затем выяснить, что мы можем сделать с этими мерами! В частности, мы используем это для определения гораздо более общей, но мощной теории дифференцирования интегрирования. Это основа анализа, одного из самых больших разделов математики :)