Тригонометрия - один из самых ненавистных предметов в наши школьные годы. Но почему?
Все из-за терминов sin, cos, tan, cosec, sec, cot. Это так сложно?
Привет всем, ребята, в этой статье мы построим тригонометрию с нуля.
ПРИМЕЧАНИЕ. Я не претендую на роль математического гения. Я фотограф, который осознает важность тригонометрии. Если вы обнаружите какие-либо ошибки или что-то в этом роде, дайте мне знать. Спасибо!
Прежде всего, в этой статье я поэкспериментирую с другим способом обучения. Мы собираемся,
- Столкнуться с проблемой
- Поиск решения
- посмотреть, как тригонометрия предлагает решение
Столкнуться с проблемой
Однажды во время фотосъемки памятника мне захотелось охватить в кадре всю высоту памятника. Итак мне нужно найти расстояние, на которое я должен стоять от памятника, чтобы запечатлеть его всю высоту. У меня был объектив 24 мм, который дает угол обзора около 59 °.
Простите за рисунок.
Это точный сценарий, с которым я столкнулся,
- Расстояние между мной и памятником = x
- Высота памятника, который я хотел запечатлеть = 66м.
- Высота моей камеры от пола = 1,6м.
Так как я хотел, чтобы памятник располагался под углом 90 ° к кадру, я не наклонял камеру.
Итак, моя камера смотрит на землю под углом 90 °.
- Угол наклона камеры относительно земли = 90 °
- Угол обзора моего объектива 24 мм = 59 °
Поскольку моя камера обращена под углом 90 ° от земли, а высота моей камеры от земли составляет 1,6 м, половина угла обзора моего объектива (59 ° / 2 = 29,5 °) может охватывать только 1,6 м из 66 метров памятника. . То есть я должен пройти оставшиеся 64,4 м с оставшимися 29,5 °.
Давайте изменим эту диаграмму.
Это все, на чем нам нужно сосредоточиться.
- Высота памятника = 64,4 м.
- Угол обзора = 29,5 °
- Расстояние между мной и памятником = x
Это проблема.
В поисках решения
Как тригонометрия предлагает решение
Прежде чем говорить о том, что предлагает нам тригнометрия, давайте попробуем решить эту проблему самостоятельно.
Прежде всего, давайте попробуем узнать, что мы можем узнать о треугольниках.
Давайте сначала узнаем о сторонах
Все мы знаем, что у него есть 3 стороны. Назовем их a, b и c.
Здесь нам нужно вспомнить теорему Пифагора.
В нем говорится, что в прямоугольном треугольнике квадрат стороны гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.
Что это обозначает?
Это означает, что если мы построим 2 квадрата со сторонами a и b, сумма площадей двух квадратов будет равна площади квадрат мы можем построить со стороной c.
Это означает, что мы можем найти недостающую сторону, если знаем две другие стороны.
Узнайте об углах в треугольнике
Сумма углов любого треугольника всегда равна 180 °.
Таким образом, для прямоугольного треугольника один угол должен быть 90 °, два других угла должны быть θ и 90-θ. Итак, θ - единственный угол, о котором нам нужно беспокоиться.
Пока что мы рассмотрели только прямоугольные треугольники. Означает ли это, что тригонометрия применима только для прямоугольных треугольников? Неееет. Позже поговорим о непрямоугольном треугольнике. Решение для непрямого треугольника так здорово.
Узнайте о сторонах прямоугольного треугольника
Напротив θ = ›Противоположная сторона
Под θ = ›Соседняя сторона
Более длинная сторона = ›Сторона гипотенузы
Теперь давайте поговорим о прямоугольном треугольнике со всеми необходимыми сторонами и углами и посмотрим, чему мы можем научиться на их основе.
Вот прямоугольный треугольник с его сторонами и углом.
a = 3
b = 4
c = 5
θ = 36.87°
Хорошо, теперь давайте посмотрим, как мы можем получить неизвестную сторону, если у нас есть две известные стороны теоремы Пифагора.
то есть мы можем найти третью сторону, если мы знаем две другие стороны.
Но для нашей проблемы у нас только одна сторона и один угол.
- Высота памятника = 64,4 м
- Угол обзора = 29,5 °
- Расстояние между мной и памятником = x
Теперь давайте узнаем о θ
Мы знаем, что для получения угла должны быть две пересекающиеся линии.
Здесь у нас есть 3 линии в треугольнике. (Этот момент важнее, чем мы думаем. Мы скоро вернемся к этому пункту).
Так как у нас есть 3 возможных комбинации линий.
- Противоположная сторона и прилегающая сторона
- Противоположная сторона и сторона гипотенузы
- Смежная сторона и сторона гипотенузы
Давайте посмотрим, что мы можем узнать из этих трех комбинаций строк.
Мы возьмем каждую комбинацию и присвоим ей несколько образцов значений и выясним, как эта комбинация влияет на θ.
Треугольное представление приведенной выше таблицы:
Противоположная сторона и прилегающая сторона
Как мы видим, opp / adj прямо пропорциональна θ.
По мере увеличения opp / adj значение θ увеличивается, и наоборот.
Противоположная сторона и сторона гипотенузы
Как мы видим, opp / hyp прямо пропорциональна θ.
По мере увеличения opp / hyp значение θ увеличивается и наоборот, но не с той же скоростью, что и opp / adj.
Смежная сторона и сторона гипотенузы
Здесь мы видим, что adj / hyp обратно пропорциональна θ.
По мере увеличения adj / hyp значение θ уменьшается, и наоборот.
Давайте объединим полученные результаты.
opp / adj ∝ θ, скорость увеличения r1.
opp / hyp ∝ θ, увеличение скорости r2.
adj / hyp ∝ 1 / θ, скорость уменьшения r3.
Таким образом, найдя коэффициент, мы можем приравнять отношение вроде
- opp / adj = r1 * θ
- ОПП / ГИП = r2 * θ
- adj / hyp = r3 * θ
Теперь вы могли понять, что эти уравнения кажутся вам знакомыми. Посмотрим…
- opp / adj = tan (θ)
- opp / hyp = sin (θ)
- adj / hyp = cos (θ)
Да, необходимая нам скорость задается в виде «sin», «cos», «tan», «cosec», «sec», «cot». Просто как тот. Он дает значение от θ в зависимости от используемых сторон.
Поскольку у треугольника 3 стороны, получается 3 комбинации сторон. Для каждой комбинации нужен свой коэффициент скорости. Таким образом, имея «грех», «соз» и «загар».
«Cosec», «sec» и «cot» - не что иное, как противоположности «sin», «cos» и «tan».
А теперь давайте попробуем решить нашу проблему
- Высота памятника = 64,4 м.
- Угол обзора = 29,5 °
- Расстояние между мной и памятником = x
Решение:
Противоположная сторона = 64,4 м
θ = 29.5°
Соседняя сторона = x
Поскольку нам известна противоположная сторона и нам нужно найти смежную сторону треугольника, tan (θ) имеет обе стороны как opp, так и adj.
tan (θ) = opp / прил.
= ›Загар (29,5 °) = 64,4 / x
поскольку tan (29,5 °) = 2,78
=> 2.78 = 64.4/x
=> x = 64.4 / 2.78
x = 23.165 m.
Таким образом, мне нужно стоять в 23,165 м от памятника, чтобы покрыть всю высоту.
Если вам интересно, какой памятник я сфотографировал?
Это Храм Брихадисвара (Танджай перия ковил). Если вы не видели его лично, рекомендую взглянуть. Какое сказочное место.
Чтобы увидеть другие мои изображения, https://www.instagram.com/bharathh_raj/
Поздравляем, мы сами успешно создали (базовую) тригонометрию с нуля.
Теперь мы рассмотрим важный вопрос,
Что такое тригонометрия?
Тригонометрия - это раздел математики, изучающий взаимосвязи между длинами и углами треугольников.
Таким образом, с помощью тригонометрии мы можем найти третью сторону, если мы знаем две другие стороны.
Кроме того, мы можем найти 2 стороны с одной известной стороной и θ.
Реальные приложения
- Тригонометрия может использоваться для измерения высоты здания или гор,
- Тригонометрия, используемая в навигации,
- Применяется в военно-морской и авиационной промышленности.
Для других случаев использования посетите это.
Помните, я говорил вам, что расскажу о том, как тригонометрия решает неправильные треугольники? Я также сказал тебе, что это было так круто.
Если мы задумаемся, то легко разделим любой неправильный треугольник на 2 прямоугольных. Таким образом, мы можем легко решить 2 прямоугольных треугольника, чтобы решить неправильный треугольник.
Применение в программировании
Иногда нам нужно нарисовать какие-то нестандартные формы, где нам нужны точные точки для рисования на холсте. В таких случаях мы можем использовать круг в качестве ориентира, чтобы найти точные точки, которые нам нужны.
Мы ясно видим, что радиус «r» окружности - это не что иное, как сторона гипотенузы.
Мы можем решить эту проблему,
x = r * cos (θ)
y = r * sin (θ)
Давайте разберемся в этой формуле,
- x = прил. сторона
- y = противоположная сторона
- r = сторона гипс
Обновляя формулу,
adj = hyp * cos (θ)
opp = hyp * sin (θ)
Поскольку cos (θ) = adj / hyp и sin (θ) = opp / hyp,
- x = r * cos (θ) - не что иное, как adj = hyp * adj / hyp
- y = r * sin (θ) - не что иное, как opp = hyp * opp / hyp
Надеюсь, теперь все обретает смысл.
Тригонометрия, которую я рассмотрел в этой статье, - это только основы. Еще многое предстоит узнать.
Спасибо за чтение. Если вам нравится такое обучение, или у вас есть предложения или вы обнаружите какие-либо ошибки, не стесняйтесь использовать комментарии.
Если вы узнаете что-нибудь новое из этой статьи, просто хлопните мне в ладоши.
Следуйте за мной в Medium и Instagram, чтобы увидеть больше таких статей.
Если вам понравилась эта статья, взгляните на Зачем нам шестнадцатеричная система счисления?
