Изучение одной из самых загадочных головоломок математики: проблема Монти Холла

30 сентября 2017 года легендарный американский телеведущий Монти Холл скончался в своем доме в Беверли-Хиллз в возрасте 96 лет. Хотя он был ведущим нескольких популярных игровых шоу, в том числе «Давай заключим сделку», «Доля секунды» и «Письмо счастья» и Создатель множества других, наследие Холла в конечном итоге может лежать в области математики, а не развлечений. Это связано с его ассоциацией с «Проблемой Монти Холла» или «дилеммой« останься или смени »- вероятностной головоломкой, основанной на его шоу« Давайте заключим сделку », которое вызвало много споров среди математиков и статистиков на протяжении 1990-х годов в результате его глубоко противоречащий интуиции характер.

Впервые представленная в 1975 году в ходе статистического исследования, проблема Монти Холла была популяризирована Мэрилин Вос Савант в ее газетной колонке Спросите Мэрилин n. Задача ставит вас на место гипотетического участника конкурса Давай заключим сделку и заставляет вас использовать математику, чтобы получить звездный приз, избегая при этом двух приземленных призов.

Давайте заключим сделку: проблема Монти Холла

Перед вами три двери, назовем их A, B и C. За двумя дверями - коза, за другой - топовый спортивный автомобиль. Очевидно, если вы не совсем чудак, вы хотите выиграть машину. Давайте назначим вероятности каждой двери и ваши шансы на успешный результат, если вы выберете эту дверь. Легко видеть, что шанс на успех составляет 1/3 для каждой двери. Вам предоставляется выбор дверей, и вы выбираете дверь A. Неважно, какую дверь вы выберете, на этом этапе каждая из них может спрятать машину.

Пока все просто. Вот в чем загвоздка.

В этот момент наш ведущий Монти открывает одну из других дверей, скажем C, чтобы показать козу. Из этого следует, что на этом этапе ведущий всегда открывает невыбранную дверь, а эта дверь всегда открывает козу.

Теперь становится весело; Монти предлагает вам выбор. Вы можете придерживаться своего первоначального выбора (A) или переключиться на оставшуюся неоткрытую дверь (B). Ну так что ты делаешь?

Палка или переключатель?

Большинство людей на этом этапе приходят к выводу, что они сталкиваются с выбором, аналогичным тому, который им предлагали изначально, за исключением того, что на этот раз шансы правильно выбрать автомобиль равномерно распределяются по двум оставшимся дверям. У вас есть пятьдесят на пятьдесят шансов на успех, если вы переключитесь, и то же самое, если вы придерживаетесь. Есть ½ шансов, что машина окажется позади A, и то же самое для B. Это просто здравый смысл, верно?

Мэрилин Вос Савант не согласилась с этим, казалось бы, здравым ответом, указав, что участник с большей вероятностью выиграет машину, если переключит свой выбор на другую дверь (B в нашем сценарии). Фактически, у них в два раза больше шансов уехать на новой машине, если они изменят выбор двери. Это вызвало возмущение среди ее читателей. Тысячи читателей написали в газете, чтобы критиковать или исправлять Вос Саванта, многие из этих ответов были от обладателей докторской степени по математике и естественным наукам. В последней колонке Вос Сант заявил, что 92% корреспонденции по этому поводу были против нее.

Некоторые из вариантов ответа приведены ниже:

«Вы ошибаетесь, но Альберт Эйнштейн заслужил более дорогое место в сердцах людей после того, как признал свои ошибки», - Фрэнк Роуз, доктор философии. университет Мичигана

«Я был верным читателем вашей колонки, и до сих пор у меня не было причин сомневаться в вас. Однако в этом вопросе (в котором у меня есть опыт) ваш ответ явно расходится с правдой », - Джеймс Рауфф, доктор философии. Милликинский университет

«Я уверен, что вы получите много писем на эту тему от старшеклассников и студентов. Возможно, вам стоит сохранить несколько адресов для помощи с будущими колонками »(W. Роберт Смит, доктор философии. Государственный университет Джорджии

«Вы совершенно не правы относительно вопроса об игровом шоу, и я надеюсь, что этот спор привлечет внимание общественности к серьезному национальному кризису в математическом образовании. Если вы сможете признать свою ошибку, вы внесете конструктивный вклад в разрешение плачевной ситуации. Сколько разгневанных математиков нужно, чтобы заставить вас передумать? »- Э. Рэй Бобо, доктор философии. Джорджтаунский университет

«Вы сделали ошибку, но посмотрите на положительную сторону. Если бы все эти доктора философии ошибались, у страны были бы очень серьезные проблемы », - Эверетт Харман, доктор философии. Научно-исследовательский институт армии США

Но они были неправы, и Мэрилин была права. Вот как.

Решение Монти Холла

Существует несколько способов решения проблемы Монти Холла, самый простой из которых - сначала установить, почему шансы найти машину за двумя дверями не равны 50/50. Чтобы сделать это, давайте вернемся к тому моменту, когда дверь C открылась, чтобы увидеть довольно веселого козочка. На этот раз давайте дадим не только вероятность того, что автомобиль находится за дверью (отмечено черным), но также вероятность того, что автомобиль НЕ находится за данной дверью (отмечен красным).

На этом этапе переключатель не должен казаться привлекательным, от него нет никакой пользы. Все меняется, когда Монти открывает дверь C. Это действие означает, что тогда еще есть 2/3 шанса, что машина не за дверью A. Это означает, что есть 2/3 шанса, что машина находится за B или C. открытие двери C не повлияло на вероятности, связанные с дверью A, но повлияло на те, которые связаны с дверью B. Это почти как если бы дверь B должна нести полную нагрузку вероятностей, которая ранее поддерживалась как B, так и C. C не выбирается случайным образом. Есть 2/3 шанса, что автомобиль стоит за парой B&C, это бремя ложится на B. Давайте посмотрим на то, что схематически представляет B & C как пару с совместными вероятностями.

Теперь давайте попросим Монти снова открыть дверь C и посмотрим, как это повлияет на вероятности.

Оставляя вам выбор, как показано ниже. Дверь А имеет 1/3 шанса на успех и 2/3 шанса на неудачу. Дверь B имеет 2/3 шанса успеха и 1/3 шанса неудачи. Таким образом, у участника будет вдвое больше шансов выбрать машину, если он или она поменяет дверь с A на B.

Все еще не уверены? Давайте рассмотрим более крайний случай - игровое шоу «Давайте заключим сделку» из альтернативного мира, где принципиальная разница в том, что телешоу намного длиннее!

Сто дверное решение проблемы Монти Холла.

В этой гипотетической версии задачи участник выбирает не из трех дверей, а из ста, для удобства мы обозначим эти двери 1–100 и скажем, что участник выбирает дверь 1. У нее есть 1/100 выбора двери, скрывающей дверь. автомобиль и шанс 99/100 не выбрать автомобиль. Изобразим это в упрощенной диаграмме. Опять же, черный цвет означает возможность выбора автомобиля. Красный шанс не выбрать машину.

Теперь альтернативная вселенная Монти пробирается через двери 2–100, осторожно обнажая бородатых козлов, пока скучающий участник не останется с двумя дверями. Дверь 1, которую она выбрала изначально, и дверь 2, последняя оставшаяся невыбранная дверь. Вот как складываются шансы на этом этапе.

Как вы можете видеть, в этом случае почти наверняка, когда Монти просит этого участника «придерживаться или переключаться», они будут глупо придерживаться. Шансы на успех при первоначальном выборе составляют 1/100 по сравнению с 99/100 шансами на успех при смене.

Но можем ли мы это подтвердить? Давайте оставим эту очень вонючую телестудию в нашей альтернативной вселенной и вернемся к нашему первоначальному примеру, чтобы выяснить это.

Доказательство решения проблемы Монти Холла.

Один из самых простых способов проверить, что у участника, который переключает двери, в два раза больше шансов добиться успешного результата, является использование математической формулы, известной как теорема Байеса, которая используется для анализа условных вероятностей, вероятности того, что событие произойдет при другом событие уже произошло и проводится для нас в связанной статье.

Теорема Байеса позволяет нам определить, что вероятностное событие (A) произойдет при условии, что произошло второе событие (B), равно вероятности события B при условии, что событие A произошло. Это умножается на вероятность возникновения события A, деленную на вероятность возникновения B.

Использование этой формулы дает 2/3 успеха для двери B, как предсказано выше и Восом Савантом. Кроме того, результаты первоначального показа шоу продемонстрировали модель, предсказанную Восом Савантом, что порадует экспериментаторов среди вас. Если более формальный тест - это ваша чашка чая, MIT провел исследование в 2005 году, которое показало, что испытуемые, которые меняли дверь, добивались успеха в 66,6% случаев, в то время как испытуемые, которые придерживались своего первоначального выбора, добивались успеха только в 33,3% случаев. Распределение 2/3 в сравнении с распределением 1/3, предсказанное Вос Савантом и теоремой Байеса.

Попробуй сам

К счастью, довольно легко запустить симуляцию задачи Монти Холла самостоятельно, хотя, если вы выполняете ее в гостиной, я рекомендую отказаться от козлов. Проведите эксперимент, например, с тремя мисками, игрушечной машинкой и предметом. Не сообщайте испытуемому о характере теста и документируйте ваши результаты в разделе комментариев.

Я уверен, что вам понравится играть в quizmaster почти так же, как Монти.