ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГРУПП
Двоичная операция - операция, которая объединяет любые два элемента набора для получения другого элемента набора, называется двоичной операцией.
Группы
Математическая группа - это набор элементов и бинарная операция, которые вместе удовлетворяют четырем фундаментальным свойствам замыкания, ассоциативности, свойству идентичности и обратному свойству.
• g ∗ h ∈ G. Мы говорим, что G замкнута относительно ∗.
• g ∗ (h ∗ k) = (g ∗ h) ∗ k для всех g, h, k ∈ G. Мы говорим, что ∗ ассоциативно.
• Существует единичный элемент e ∈ G такой, что e ∗ g = g ∗ e = g для всех g ∈ G.
- Каждый элемент g ∈ G имеет обратный g −1 такой, что g ∗ g −1 = g −1 ∗ g = e
Закрытие в рамках операции
Все эти группы имеют закрытую бинарную операцию. Например, в (Z, +) любые два целых числа, сложенные вместе, будут другим целым числом. Другими словами, если n, m ∈ Z, то (n + m) ∈ Z
В общем, чтобы (G, *) была группой, где G - множество, а * - бинарная операция, если a, b находятся в G, то (a * b) также находится в G. Это называется замыканием. Обратите внимание, что все группы в приведенных выше примерах закрыты для соответствующих операций.
Ассоциативность
С целыми числами под сложением
2+(11+5)=(2+11)+5
С ненулевыми действительными числами при умножении
3*(2*5)= (3*2)*5
Это называется ассоциативностью и требуется, чтобы структура была группой. В общем случае, если (G, *) - группа и a, b, c∈ G, то
Личность
Когда мы смотрим на Z, в элементе 0 есть что-то особенное. Обратите внимание, что для любого целого числа m
0+m=m+0 =m
Ноль - единственный элемент в этой группе с этим свойством, и он называется тождеством группы Q и R.
В R * элемент 1 тождественен как
1* a = a* 1 = a
для всех в R
В общем случае, если (G, *) - группа, то существует элемент идентичности e в G такой, что для любого g в G
e * g =g * e = g
Этот элемент называется идентификатором G или e G.
Перевернутые
В Z, если является целым числом, рассмотрим
m+ x= 0
Из этого следует, что x = (- m), и фактически x также является целым числом.
если r ненулевое действительное число, то
r * x = 1
В общем случае, если (G, *) - группа с тождеством e, а a - элемент G, то существует инвертируемый элемент «a» также в G такой, что
a * «a» invers = e = «a» invers * a
Возможные заблуждения
Во всех приведенных выше примерах основной набор групп бесконечен, но группы не обязательно должны быть бесконечными. Обратите внимание, что с требованием элемента идентичности базовый набор не может быть пустым набором.
Все вышеперечисленные группы коммутативны. То есть a * b = b * a. Это верно не для всех групп в целом. Коммутативные группы называются абелевыми группами.
Негруппы
Чтобы укрепить наше понимание, давайте посмотрим на некоторые структуры, которые не являются группами.
Рассмотрим добавление Нунда. Этот набор замкнутый, но у него нет обратных, поэтому он не является группой.
Рассмотрим совокупность всех добавляемых матриц. Это не группа, потому что не все матрицы могут быть добавлены. Рассмотрим, например, матрицу 2 * 2 и матрицу 3 * 3
