Основные инструменты математики в 2018 году
Математическое образование учит, как доказывать теоремы и выполнять вычисления. В каком-то смысле единственное, что имеет значение в математике, - это получение правильного ответа, так же как при рисовании картины все, что имеет значение, - это влияние, которое конечный результат оказывает на зрителя.
Художники много говорят о том, какую кисть и когда использовать разбавитель для краски.
Я слышал, как писатель Стивен Кинг говорил, что его часто спрашивают, пользуется ли он карандашом, ручкой, пишущей машинкой или текстовым редактором. На первый взгляд это кажется глупым вопросом, но на самом деле это очень хороший вопрос. Основные инструменты, которые использует писатель, сильно влияют на их результат, даже если никто не может догадаться по физическому тому, как рукопись была подготовлена.
Я предполагаю, что фундаментальные инструменты, используемые математиками, также сильно влияют на их рабочий продукт. Поскольку эти инструменты фактически развиваются с течением времени, они требуют периодического пересмотра.
Основные инструменты
В 2018 году студент-математик любого возраста получит в свое распоряжение множество инструментов. Теперь я считаю следующие восемь инструментов важными для моего рабочего процесса:
- Письменные принадлежности. Ниже я расскажу о компьютерных инструментах, но мы должны начать с основ. Студент математики должен уметь писать. Студент должен уметь рисовать фигуры и составлять диаграммы. Компьютерные системы все еще недостаточно хороши, чтобы заменить ручку и бумагу. Допускается любой инструмент для письма, который позволяет создавать неформальные диаграммы и писать разборчиво; после этого это вопрос личных предпочтений. Я пользуюсь перьевой ручкой с черными чернилами. Я предпочитаю идеально читаемую жирную черную линию. Я пробовал карандаши, шариковые ручки и ручки рапидографа. Заправка чернил из бутылки экономит деньги, что является значительным преимуществом. Я иногда использую механический карандаш, когда делаю аккуратные рисунки. Стирать карандашные следы - катастрофа. Если вы используете карандаш, не стирайте - вместо этого зачеркните свою работу. Это позволяет вам читать работу, которую вы исправляете, и сохраняет вашу работу разборчивой.
- Бумага. Я использую простую ксерографическую бумагу для заметок. Иногда для угощения я использую бумагу с высоким содержанием хлопка. Я редко использую миллиметровую бумагу и предпочитаю бумагу без подкладки. Мои скетч-работы, как правило, представляют собой смесь уравнений и рисунков с сильной вертикальностью, которая не очень похожа на прозу. Вы должны иметь возможность связывать элементы на странице с помощью стрелок, рисовать рамки вокруг важных элементов, делать другие заметки, выходящие за рамки обычного потока прозы.
- Доступ в Интернет. Способность искать вещи в экзообразе человеческого общества почти необходима, хотя бы для того, чтобы открывать значение слов. Википедия бесценна. Студент должен «овладеть» материалом с помощью упражнения, но Интернет делает это упражнение более эффективным.
- Wolfram Alpha online и / или Mathematica. Символьные вычисления сейчас настолько ценны, что было бы затруднительно их не использовать, хотя бы для проверки своих вычислений. Возможность быстро построить график функции значительно ускоряет понимание и создание примеров. Я использую Wolfram Alpha в качестве калькулятора. Mathematica более мощная, но требует немного больше внимания и обучения.
- Язык программирования общего назначения. Очень часто гипотезу проверяют, написав небольшую программу. Примером из теории чисел может быть вычисление первых 1000 целых чисел. Хотя языки программирования постоянно развиваются, в настоящее время я рекомендую JavaScript, потому что он позволяет выполнять функции как первоклассные объекты, а также потому, что он позволяет совместно использовать программы и запускать их непосредственно в браузерах через Интернет. Мало того, что браузер предоставляет платформу для запуска JavaScript, но инструменты разработки, включенные в большинство браузеров (F12 в некоторых из них), предоставляют базовую интегрированную среду разработки и отладчик. Для некоторых расчетов я предпочитаю LISP, но, к сожалению, он считается относительно продвинутым и необычным языком, поэтому для студентов наиболее актуален JavaScript. JavaScript вместе с Node, его серверной реализацией, дает вам чрезвычайно важный цикл чтения-оценки-печати (REPL), аналогичный LISP.
- GitHub. GitHub предоставляет огромную библиотеку фрагментов кода, которыми можно поделиться. В этом смысле я использую репозитории GitHub, используя свободно доступный код. Он также позволяет вам хранить и делиться своим собственным кодом и математикой, которую он воплощает, при нулевых затратах, если вы делаете его общедоступным. Я также использую GitHub в качестве платформы для публикации и хостинга; Я создаю репозитории GitHub. Моя стандартная практика - создавать бесплатное общедоступное репозиторий GitHub всякий раз, когда я начинаю проект, который займет больше дня.
- LaTeX. Как только ваша работа станет достаточно серьезной, чтобы ее нужно было сохранить и поделиться, что может произойти, как только вы начнете делать что-то большее, чем домашнее задание, ее следует производить в прочном, но изменяемом виде формат, которым можно поделиться с другими. Лучший инструмент для создания математических текстов - LaTeX. Это полностью бесплатная, хорошо задокументированная система «набора». Он позволяет вам писать уравнения и суммировать символически и выводить их в виде красивых надстрочных и подстрочных индексов, скобок, греческих и еврейских букв. На то, чтобы научиться, нужно время, но оно того стоит. Я бросаю вызов любому, кто изучал LaTeX, чтобы утверждать, что Microsoft Word или любой другой редактор типа «что видишь, то и получаешь» сравнимы.
- YouTube. На YouTube огромное количество каналов, посвященных математике, включая полные онлайн-курсы и потрясающие видео-демонстрации. Некоторые из моих любимых: 3Blue1Brown, Mathologer и njwildberger. (У меня также есть небольшой канал на YouTube о физических изобретениях, а не о математике.)
Объединив эти инструменты, мы можем описать начало нового проекта: «Создайте репозиторий GitHub для проекта, создайте файл LaTeX для заметок, создайте Файл JavaScript для фрагментов кода, откройте браузер на Wolfram Alpha онлайн, достаньте бумагу и ручку, поблагодарите у вас есть такие замечательные инструменты, и вы начинаете работу, зная, что конечная цель - создать что-то, что может использовать кто-то другой, будь то бумага, профессионально набранная в LaTeX, интерактивный веб-сайт, размещенный на GitHub, или YouTube видео ".
В моей организации GitHub есть 22 свободно используемых репозитория многократного использования, многие из которых предлагают довольно сложную графику, включая интерактивную трехмерную графику, с которой может играть любой, у кого есть браузер. Это стоит мне 0 долларов. Объясняю, как строить такие сайты в другом месте. Вот несколько примеров:
- Двойной маятник, демонстрирующий хаос.
- Математика и интерактивная 3D программа, позволяющая конструировать максимально правильные тетрахеликсы.
- Совместная работа со студентом (пример использования LaTeX), описывающая летний проект по созданию напечатанного на 3D-принтере линейного датчика смещения.
- Ведется техническая работа по оптимизации сетей линейных приводов, которая включает технический документ и код C ++. Технический документ показывает, как я работаю; он очень свободный и небрежный, но он служит для улавливания моих собственных мыслей и прогресса.
- Относительно простой пример программирования на JavaScript, примененный к приложению для проектирования электромагнитных катушек в области электротехники.
Некоторые пояснения и вопросы
Я не думаю, что такой подход устроит всех. Например, GitHub, JavaScript и LaTeX требуют некоторого времени для изучения. Но это наша цель. На самом деле вопрос не в том, следует ли выучить эти вещи, а в том, чтобы когда сделать их более приоритетными по сравнению с другими знаниями. Позвольте мне предвидеть некоторые часто задаваемые вопросы и ответить на них здесь.
Вы не публиковали рецензируемую статью за 20 лет, почему мы должны прислушиваться к вашему совету?
Я смиренно предлагаю только то, что мне подходит. Если вы можете найти другой или лучший совет, пожалуйста, поместите его в ответ на эту статью или отправьте статью об этом в Q.E.D.
Я только учусь в старшей школе, как мне применить этот совет?
Обучение использованию этих инструментов следует рассматривать как долгосрочный проект. Я бы не стал прерывать учебу, чтобы изучить эти вещи, но я бы тоже не стал их игнорировать. Для многих старшеклассников создание единственной (сложной) домашней задачи в LaTeX является ценным и, смею сказать, вдохновляющим занятием. LaTeX заставляет вашу работу выглядеть профессионально, хотя большинство молодых студентов (в отличие от меня) вряд ли создадут что-нибудь для публикации без огромных усилий (как я). Но есть большое и невинное удовольствие, когда ваша работа выглядит профессионально, даже если она сама по себе рутинная.
Изучение простого программирования ценно для всех; Математика в старших классах предлагает множество упражнений по программированию, таких как кодирование целочисленной факториальной функции или квадратного уравнения. Как всегда, эти вещи будут проще и веселее, если вы сможете изучить их одновременно с другом или у друга.
Разве вы не предполагаете, что программирование является обязательным условием для математики?
Я предполагаю, что программирование - это важный инструмент для студентов-математиков, который следует обучать примерно в то же время, когда преподается математический анализ, и что на самом деле обучение этим двум методам вместе имеет много преимуществ.
Разве LaTeX не очень громоздкий?
У LaTeX крутая кривая обучения. Это НЕ то, что видишь, то и получаешь. Однако это не совсем сложно, а довольно богато. Представьте себе сложные уравнения / суммирования / матрицы / доказательства, которые вы видели в профессиональных учебниках или статьях. Большинство из них было сделано с помощью LaTeX. LaTeX сложен, потому что математики полагаются на сложные обозначения для компактной передачи информации.
Лично у меня есть некоторые психические слабости, которые LaTeX помогает мне преодолеть. Мой почерк оставляет желать лучшего. Я подвержен ошибкам; скорость, с которой я могу обнаруживать и исправлять свои собственные ошибки, определяет скорость моего прогресса. LaTeX не решает эту проблему, но позволяет мне очень четко видеть каждый из моих расчетов и при необходимости исправлять их. Конечно, не каждый клочок работы заслуживает верстки, и многое из того, что я набираю, бесполезно, и большую часть из них я потом удаляю. Но мы должны спросить себя: зачем мы вообще что-то записываем? Простой ответ - иметь возможность прочитать их позже. Поэтому наш почерк имеет значение. В общем, некоторые вещи заслуживают того, чтобы их красиво преподнести. LaTeX создает прекрасное математическое письмо, и у этой красоты есть цель: он хорошо общается с читателем.
Зачем делиться своей работой на GitHub, если большая ее часть бесполезна?
Миру нужно много посредственных математиков. Для настоящего творца нет большего ресурса, чем гигантская куча хлама. Закон осетровых рыб гласит, что 90% всего сырого. Добавление в сырье помогает кому-то другому изготовить драгоценный камень. Я с гордостью принимаю свою бездарность среди любителей; У меня есть это. Если 10% моей работы превысят этот порог или вдохновят на это кого-то другого, я буду счастлив.
Я не настолько высокомерен, чтобы верить в то, что я оказываю миру большую услугу, предоставляя им исключительную привилегию видеть мои полные ошибок незавершенные работы. Но в конце концов математика должна быть социальным предприятием. Общаюсь ли я с другими или со своим будущим «я», общественный рабочий продукт создает сообщество. Когда мы впервые создали библиотеки, полные академических журналов, это было шагом вперед по сравнению с частной перепиской между математиками. Когда у нас впервые появились онлайн-журналы, это был еще один шаг вперед. Когда большинство из нас поделится своей работой в процессе ее формирования, это будет еще одним шагом вперед.
Зачем использовать язык программирования общего назначения, а не просто Mathematica или что-то подобное?
Потому что иногда нужна эта общность. Иногда вам нужно сделать что-то, которое вы визуализируете с помощью фотореалистичной 3D-библиотеки. Иногда вам нужно создать интерактивный инструмент, который интерпретирует щелчки мыши, чтобы обеспечить сложный контроль над чем-либо. Иногда вы хотите взаимодействовать с библиотеками, написанными другими, и для этого вам нужен общий язык.
Разве С ++ не имеет больше смысла для математика?
Да, для численного анализа. Но обычно с этим справляется JavaScript. Пока вы не сделаете что-то довольно тяжелое, преимущество C ++ в производительности не имеет значения.
Разве Python не имеет больше смысла для математика?
Мне нравится более строгий набор текста в Python, и доступные математические библиотеки могут быть немного лучше. Но Python не запускается в браузере. Я не могу делиться своей работой через бессерверную веб-страницу с Python так же легко, как с JavaScript.
Авторучка? Действительно? Они до сих пор их делают?
Да, они все еще делают их, и да, у вас действительно есть чернила на пальцах, и вы должны быть осторожны с ними в самолетах.
Я использую Konrad Flex 14005 Clear Demo. Для туши я использую Aurora Black.
Перьевой ручкой вы можете сделать линию шире, чем шариковой ручкой. Мне также нравятся шариковые ручки-роллеры Uni-Ball Vision, но они стоят 1,99 доллара каждая, и я их очень быстро просматриваю. Я часто нажимаю, когда пишу. Перьевой ручки хватает на годы, а бутылки чернил за 20 долларов хватает примерно на год. Однако это вопрос личных предпочтений.
Какой текстовый редактор вы рекомендуете?
Emacs. В хакерском сообществе по этому поводу ведется многолетняя религиозная война. Достаточно сказать, что я придерживаюсь мнения, что Emacs - это фундаментальный инструмент, который я бы включил в свой список, если бы не знал, что это будет оскорбительно для тех, кто заклеймит меня как фанатика. Тем не менее, я чувствую себя морально обязанным сказать молодым людям: научитесь использовать Emacs.
У меня (в прошлом) есть master vi, vim и sublime. Одним из преимуществ Emacs является то, что Emacs не является редактором для написания программ, это редактор для написания текста. Даже программисты должны тратить много времени на написание прозы. Как математик, я рекомендую писать прозу, LaTeX и JavaScript, если того требуют обстоятельства. Emacs - лучший инструмент, потому что это самый общий инструмент.
Разве это не настоящие инструменты математической логики: доказательство противоречием, творчество, элегантность и, в конце концов, интеллект?
Если умеешь летать, не беги. Но если вы не можете ходить и хотите бегать, сначала научитесь ходить. Действительно, симметрия, элегантность, скупость, четкость выражения, ясность мысли - это глубокие инструменты математики. Но нельзя игнорировать поверхностные инструменты.
