Значение дробных измерений
Математика, лежащая в основе реалистичных компьютерных изображений.
Все мы знаем, как работают размеры. Первое измерение - прямая линия. Чтобы найти позицию на прямой, нам понадобится только одно число. Следовательно, 1 измерение. Самолет требует два номера. Это два измерения. Нам нужны три числа, чтобы определить позицию в космосе. Пространство имеет 3 измерения.
Что мы могли бы описать как имеющее, скажем, 2 ½ измерения?
Предположим, у нас есть линейная мера, равная 1 единице. Мы можем удвоить его, и теперь он имеет длину 2.
Возьмите единичный квадрат. Удвойте каждую линейную меру. Каждая сторона, которая имела длину 1, теперь имеет длину 2. Что случилось с этой областью?
Длина увеличивается в 2 × 2 = 4 раза. Увеличьте края куба в два раза, и его объем увеличится в 2 × 2 × 2 = 8 раз.
Увеличение в 1 измерение соответствует созданию 2¹ копий оригинала. Увеличение в 2-х измерениях, 2 ² копии и 3-х измерениях создает 2 ³ копии. Размер соответствует экспоненте.
Нам не нужно использовать целочисленное основание. Приведенные выше наблюдения справедливы для базы 1 ½ или даже для иррациональной базы. Базу 2 проще проиллюстрировать, поэтому мы будем ее придерживаться *.
Мы действуем так, как будто мы уже знаем, что такое размерность, и отмечаем, что показатель степени совпадает. Что, если бы мы изменили эту линию мышления? Что, если бы мы начали с экспоненты и использовали ее для определения измерения? Как бы это вообще выглядело?
Взгляните на треугольник Серпинского. Увеличьте его так, чтобы его стороны увеличились вдвое. Сколько копий оригинального результата?
Квадрат при увеличении дает нам большую фигуру, состоящую из четырех меньших. Однако увеличенный треугольник Серпинского включает 3 оригинала. Что такое показатель степени? Два в степени 3? Ищем логарифм:
Если мы определим размер фигуры как этот логарифм, мы сохраним наши предыдущие результаты. Линия имеет 1 измерение; квадрат 2; куб 3. Однако это расширенное определение сообщает нам кое-что новое. Треугольник Серпинского имеет дробную размерность 1,58496250072 (более или менее).
В этом и заключается источник фрактала в фрактале. Бенуа Мандельброт ввел этот термин в свою книгу 1975 года Les Objects Fractales: Forme, Hasard et Dimension. Математик обратился к использованию дробных размерностей Хаусдорфа в качестве меры грубости в своей статье в журнале 1967 года Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность .
Измеренная длина береговой линии зависит от стандартной единицы, используемой для ее измерения. Меньший блок поместит больше укромных уголков и трещин. (Вы не можете разделить единицу - это то же самое, что использовать меньшую единицу.) Но сколько укромных уголков и трещин мы считаем? С микрометрической шкалой нам нужно будет рассмотреть каждую песчинку на пляжах. Нанометровая шкала требует, чтобы мы измерили длину окружности каждого атома - величина точно не определена.
Используя приведенные выше шкалы, мы находим дробную меру береговой линии Великобритании:
Calculus считает цифры плавными. Увеличение означает упрощение. Окружность круга выглядит как прямая линия.
Компьютерное программное обеспечение может повторять простой алгоритм для создания реалистичных изображений. Облака, вода и береговые линии - все это бесконечно сложные детали, характерные для физических структур.
Возможно, Мандельброт наиболее известен математической структурой, носящей его имя. Когда он впервые определил множество Мандельброта в 1980 году, мощность компьютера была ограничена.
Сегодня поиск на YouTube вознаградит вас множеством гипнотических и красочных проявлений чуда Мандельброта. Тем не менее, лежащее в основе математическое уравнение остается прежним.
Уравнение принимает в качестве входных данных комплексные числа, набор чисел, которые помещаются на плоскости, а не обычную числовую линию. Затем мы подставляем полученное число обратно в уравнение и снова обрабатываем его. После многих повторений выходной сигнал стабилизируется или взлетит до бесконечности. Числа, которые дают стабильный результат, нанесены на график как часть набора. Как долго они успокаиваются, определяет цвет точки.
Учитывая, насколько продвинулись компьютерные изображения с момента дебюта «Сета Мандельброта», возможно, моим внукам понравятся трехмерные VR-туры по психоделическому пространству.
* естественным основанием является e, иррациональное число, равное примерно 2,718. См .: Влюбись в е сначала.
