Древнее доказательство, позволяющее разобраться в нерешенной проблеме.

Идеальные числа очаровывали меня долгое время. Идея проста. Возьмите любое число и выпишите числа, которые его делят (не считая самого себя).

Например: 1,2 и 3 делят 6 поровну. Теперь сложите множители 1 + 2 + 3 = 6.

Когда вы получаете такое число обратно, оно называется идеальным числом.

Позже мы захотим работать с полной функцией суммы делителей.

Определите σ (N) как сумму всех делителей N (включая само N). Обратите внимание: когда вы включаете само число, мы получаем определение: число N является совершенным, если σ (N ) = 2 N.

Большинство чисел не идеальны. Фактически, вы можете быстро проверить сами, что 6 - это наименьшее совершенное число, а затем следующее - 28. Существует удивительно большое количество результатов в форме совершенных чисел, но два наиболее очевидных вопроса остаются нерешенными по сей день:

  • Их бесконечно много?
  • Есть ли идеальные нечетные числа?

Если бы вы смогли решить любую из этих проблем, вы стали бы знаменитыми. Они выглядят такими простыми, и все же они устояли перед тысячами попыток доказательства или контрпримеров.

Первый вопрос можно преобразовать во многие другие известные вопросы, поэтому сегодня мы не будем им заниматься.

Что мне интересно, так это то, что Эйлер доказал, что нечетные совершенные числа должны иметь очень специфическую форму еще в 1700-х годах, но мы до сих пор не знаем, существуют ли они!

В настоящее время компьютеры проверили примерно до 10 центов и не нашли ни одного. Новые результаты о нечетных совершенных числах были опубликованы совсем недавно, в этом году. Так что это все еще активная область исследований.

Сегодня мы рассмотрим элементарное доказательство Эйлера формы нечетных совершенных целых чисел, и, возможно, кто-нибудь из вас сможет его разгадать.

Форма нечетных совершенных чисел

Несмотря на то, что мы не знаем, существуют ли они, форма, которую должно принимать нечетное совершенное число, была известна веками.

Вот утверждение теоремы. Если N - нечетное совершенное число, тогда

где p - простое число в форме p = 4 n + 1 и не делит Q. Другими словами, нечетное совершенное число должно быть точным квадратом, умноженным на определенный тип простого числа с определенным типом степени (1, 5, 9,…).

Вы можете ввести числа, чтобы почувствовать это. Если n равно 1, то простое число p = 5. Если Q равно 3, то идеальный квадрат равен 9. Это составит N = 45. (Собственные) делители 45 равны 1, 3, 5, 9, 15. Если сложить их, получим 33, так что 45 не является идеальным.

Как видите, теорема не дает совершенные нечетные числа. Он просто говорит нам, что если он существует, он должен иметь такую ​​форму. Опять же, за столетия, прошедшие с тех пор, как это было впервые доказано, было много работы над этим, поэтому в наши дни у нас есть более совершенные формы. Я упомяну о них в конце.

А пока давайте на самом деле докажем это. Доказательство совершенно элементарно и требует только умного обдумывания событий и разногласий и отработки всех возможностей.

Несмотря на отсутствие высокоуровневой математики, я предупреждаю вас, что это сложно удерживать в голове сразу, потому что это просто грубая сила проверяет все случаи. Так что легко потерять из виду, что мы делаем и почему. Я постараюсь прояснить это.

Предварительные концепции

Прежде чем мы начнем, нам нужны формальные определения четных и нечетных чисел. Число x является нечетным, если его можно выразить как x = 2k + 1 для некоторого k. Число x является четным, если его можно выразить как x = 2k для некоторого k.

Факт 1: Нечетное число плюс нечетное всегда четное. Вы можете убедить себя в этом, подумав об этом, но это также можно доказать формально.

Пусть x и y нечетные. Тогда x = 2k + 1 и y = 2j + 1 для некоторых k и j. Таким образом,

x+y=2k+1+2j+1
=2k+2j+2
=2(k+j+1).

Это определение равных, так что мы закончили.

Факт 2: нечетное число плюс четное всегда нечетное. Вы можете убедиться в этом сами, следуя приведенному выше аналогичному доказательству.

Факт 3: делители числа pⁿ, где p - простое число, равны 1, p, p²,…, pⁿ. Это просто определение простого числа.

Факт 4: сумма делителей pⁿ (обозначенная σ (pⁿ)) четна тогда и только тогда, когда n нечетно. Это просто комбинация трех приведенных выше фактов: 1 + p четно, 1 + p + p² нечетно, 1 + p + p² + p³ четно и так далее.

Аналогично, σ (pⁿ) нечетно тогда и только тогда, когда n четно.

Факт 5: сумма делителей слабо мультипликативная. Это означает, что если N и M не имеют общих простых множителей, то σ (NM) = σ (N ) σ (M).

Я не буду доказывать это в общих чертах, но простой пример дает точное представление о доказательстве. Попробуйте это для N = 3 и M = 5.

σ(15)=1+3+5+15
=(1+3)(1+5)
=σ(3)σ(5)

Общее доказательство следует той же логике. Вы разбиваете число на разложение на простые множители, а затем множите его на множители.

Доказательство формы Эйлера

Пусть N - нечетное совершенное целое число. Используйте Основная теорема арифметики, чтобы разложить на множитель N на его уникальное разложение на простые числа:

Поскольку N нечетно, ни одно из простых чисел в факторизации не равно 2. Поскольку N совершенно, мы знаем, что σ (N) = 2N. Теперь мы воспользуемся определением с приведенными выше фактами, чтобы получить ключевое уравнение, которое нам понадобится.

Вот ключевой вывод. Четным может быть только один из этих факторов.

Это связано с тем, что верхняя левая часть уравнения имеет только единственный множитель 2, поскольку N нечетно. Если бы два из нижних правых множителей были четными, мы смогли бы вычесть 4, противоречие.

Поскольку только один фактор является четным, это означает, что все остальные факторы нечетные. Факт 4 говорит нам, что все aᵢ в факторизации N на простые числа четные, за исключением одной нечетной.

Другими словами, мы можем написать N = pˣQ², где x нечетно, а p не делит Q.

Предположим, что p = 4b + 3 для некоторого b. Затем мы замечаем, что можем разложить σ (pˣ) = (1 + p) (1 + p² +… + pˣ⁻¹)) на множители. Это означает, что 1 + p делит σ (pˣ), который, по предположению, делит 2N.

Но это противоречие, потому что 1 + p = 4b + 4 = 4 (b + 1), и мы уже сказали, что 4 может быть множителем 2N. Поскольку p нечетно, единственная другая возможность состоит в том, что оно имеет вид 4b + 1 для некоторого b, что мы и собирались доказать.

Трюк того же типа показывает нам, что x также должен иметь форму 4m + 1 (когда вы подставляете p = 4b + 1 и умножаете σ (pˣ), вы обнаружите, что можете вынести 4, если x = 4m + 3).

Если все это слишком сложно, не волнуйтесь. Суть доказательства сводится к одному факту. Определение совершенного: σ (N) = 2N. Определение N как нечетного состоит в том, что мы не можем исключить дополнительную копию 2 из N.

Это просто заставляет разные части σ (N), когда они записаны, также не содержать слишком много копий 2.

Таким образом, если N - нечетное совершенное число, оно должно иметь вид:

где p - простое число вида p = 4 n + 1 и не делит Q.

Другие результаты

С момента открытия этой формы было получено много результатов. В 1980 году Хагис показал, что должно быть не менее 8 различных простых множителей, а затем в 2005 году Хейр показал, что должно быть не менее 75 (не обязательно различных) множителей. В 2012 году Очем и Рао показали, что его должно быть не менее 101.

Результаты о размере факторов также были доказаны, но вычисления делают это несколько менее интересным, чем фактические «структурные теоремы» нечетного совершенного числа. Существуют десятки таких типов результатов об экспонентах, которые могут иметь место, и соотношениях конгруэнтности, включающих все N.

Если вы хотите решить давнюю проблему и прославиться, стоит поработать с ней. Все, что вам нужно сделать, это найти некоторую гарантированную форму для нечетного совершенного числа, которая противоречит этой форме, и вы раз и навсегда докажете, что его не существует (что является текущим консенсусным предположением).

А пока компьютеры будут проверять.