Давайте откроем для себя гениальное, но простое решение лог-синусоидального интеграла Эйлера.

Тактика

Сначала мы даем метку значению нашего интеграла I.

Наш подход состоит в том, чтобы доказать, что I удовлетворяет уравнению I = 2I. Это, конечно, означает, что I = 0 после вычитания I с каждой стороны.

Для этого нам нужно будет найти умный способ представить Я. Ключевые идеи будут использовать поведение sin (x), cos (x) и log (x) с умом.

Ниже мы очерчиваем некоторые ключевые свойства sin (x), cos (x) и log (x), так что не стесняйтесь пропустить, если вы уже знакомы с ними или вернетесь по мере необходимости.

Тактика: свойства sin (x) и cos (x)

В этом вопросе мы выражаем sin (x) и cos (x) в радианах. Радианы - это мера, аналогичная градусам, но у нас есть 2 пи радиана в круге. Таким образом, 90 градусов = 360/4 эквивалентно pi / 2 = 2 * pi / 4.

Напомним, что для любого числа u у нас есть следующая идентичность: [u - немного странный выбор имени переменной, но мы используем его позже, так что полезно познакомиться]

Графика, вероятно, будет достаточно, чтобы убедить вас в этом. Вы также можете нарисовать прямоугольный треугольник, как на схеме ниже, чтобы доказать это.

Другая важная триггерная идентичность, формула двойного угла:

грех (2х) = 2cos (х) грех (х)

Тактика: симметрии греха (x)

Следующее свойство, которое мы отметим, - это симметричность sin (x).

Следствием этой симметрии является то, что

Это становится очевидным, если вы посмотрите на график log (sin (x)).

Тактика: логарифмы

Одним из ключевых свойств функции логарифмирования является то, что

Это будет очень полезно, потому что его можно комбинировать с формулой двойного угла:

Решение лог-синус-интеграла Эйлера

Теперь воспользуемся заменой

Это дает новый интеграл в терминах (pi / 2 - u). Далее мы используем то, что узнали о взаимосвязи между sin и cos:

Все идет нормально. Но мы хотим оценить I + I.

Сложность здесь в том, что один интеграл выражается в единицах u, а другой - в единицах x. Следующая манипуляция может показаться немного неудобной, но важно понимать, что x и u являются «фиктивными переменными». Они представляют что-то, в данном случае область под графиком *, поэтому не имеет значения, какое имя переменной вы используете. Поэтому мы меняем du и u на dx и x.

Optional note on variable switching. The key distinction to make here is that the value of an integral depends on the range we integrate over and the function. When we used the substitution pi/2 - u = x, the variable u wasn't the important part, what we were really doing was showing an equivalence between integrating the function sin(x) over a certain part of the x axis, and integrating the function sin(pi/2 - x). The u just helped us keep track of how the 'dx' needs to be scaled to keep the two integrals equivalent.

*side note: if you learn a more formal approach to calculus,as you would in a mathematics degree, the mathematical object is technically a limit of a sum. But for our purposes, the analogy with area under a graph captures the relevant information.

Теперь мы используем наши правила журнала:

Мы почти у цели! Делаем еще одну замену

Но, если вы помните из раздела тактики, sin (v) симметричен относительно pi / 2. Это означало, что имеет место следующее:

Если отменить деление 2 на 2, то получится:

Единственное отличие от нашего исходного выражения - это другая «фиктивная переменная». Как и раньше, мы можем изменить v обратно на x и dv обратно на dx:

Готово! Лог-синус-интеграл Эйлера побежден !!

Дайте мне знать ваши комментарии, просьбы, мысли и все остальное ниже! Первоначально я видел этот интеграл в просто замечательной книге Поля Нахина Внутри интересных интегралов. Это действительно забавная книга, над которой я работал в прошлом году, и я могу ее настоятельно рекомендовать! Вы можете подписаться на меня в Твиттере, где я ethan_the_mathmo, чтобы получать случайные мысли и обновления, связанные с математикой.