Интуитивные представления о производной

Если вы учились в колледже, то вполне справедливо, что вы взяли какой-то урок математического анализа. Если вы изучали инженерное дело или науку, вы, вероятно, посещали МНОГО уроков по математике. К сожалению, многие учителя математики любят показывать вам, насколько они умны, и что они делают простые идеи довольно трудными для понимания. К тому же в школе много вещей - как академических, так и неакадемических - соревнуются за ваше внимание. Поэтому неудивительно, что многие люди не обладают интуитивным пониманием некоторых математических идей. Иногда я думаю, что некоторые профессора тоже не знают, и это часть проблемы. Одно дело знать ноты на каждой клавише пианино, а другое - уметь играть на пианино.

Что такое исчисление?

Так что же такое исчисление? Простой ответ: это математика перемен. Обычная математика позволяет нам отвечать на такие вопросы, как «Какой коврик больше?» или «Сколько яиц нам нужно каждый день, чтобы накормить определенное количество людей?» Алгебра отвечает на такие вопросы, как «Если мы зарабатываем 8% процентов на банковском счете и через год у нас будет 1122 доллара, с какой суммы мы начали?» Геометрия и тригонометрия отвечают на вопросы о формах и углах. Исчисление отвечает на вопросы об изменениях.

Примеры вопросов, на которые вы можете ответить с помощью расчетов: Если в трубе образуется 1-миллиметровая утечка, размер которой увеличивается вдвое каждый час, сколько времени потребуется, чтобы опорожнить 300-галлонный резервуар? Или, если хоккейная клюшка отрывается от льда в соответствии с математической формулой, какое максимальное ускорение она выдержит?

Если вы хотите иметь дело с акциями или опционными сделками, писать потрясающие компьютерные симуляции в реальном мире в 3D или строить небоскребы, вам, вероятно, в какой-то момент понадобится исчисление. Хорошо, что это не так сложно, как говорят.

Что такое производная?

Производная - это просто скорость изменения чего-либо. Вот и все. Стоящий на месте шар или шланг с отключенным водопроводным краном имеют формулу, которая их описывает, а производная этой формулы равна нулю. Потому что они не меняются.

Иногда нам действительно нужно знать фактическую скорость изменений. Насколько быстро разгоняется ракета после того, как ее двигатель работает в течение 3 секунд? Но иногда мы хотим знать знак скорости изменения. Например, если у нас есть формула, которая аппроксимирует стоимость соевых бобов, мы заметим, что скорость изменения положительная, когда цена растет, отрицательная, когда она снижается, и ноль в местах, где она изменяется с плюса на минус. или наоборот. Эти нулевые точки будут минимальной и максимальной ценой на сою, по крайней мере, согласно нашей модели.

Это полезный математический трюк. Когда я был студентом, я думал: «Как Ньютон и Либниц придумали это дерьмо с нуля? Сумасшедший!" Но теперь я вижу, что на самом деле это действительно просто, если вы хотите задать такие вопросы, которые позволят вам решить такую ​​математику. Мы будем работать над этим, наверное, как они.

Начать с простого

Допустим, у нас есть функция f (x) = 4. Это означает, что любое значение x, которое вы вставите, будет равно 4. Это может быть математическая модель шара, находящегося в 4 метрах от земли на полу большого здания. В момент времени 0 позиция составляет 4 метра. На момент 1000 позиция составляет… 4 метра. Он не движется.

Какая скорость изменения? Нуль. То же самое и для f (x) = 20. Или f (x) = 1000. Никаких изменений на основе x, поэтому скорость изменения и, следовательно, производная равна нулю. Графически это выглядит так:

Интереснее

Посмотрите на этот график:

Это немного интереснее. Это линия. Возможно, вы помните, что прямая y = mx + b, где m - наклон, а b - точка пересечения с y. В этом случае b = 0, и вы можете видеть, что m = 4, поэтому наклон равен 4. Для линии, однако, наклон - это скорость изменения. то есть в каждой точке линии изменение x на 1 вызовет изменение y на 4 в том же направлении.

Если вы не знали формулы для этой линии, вы могли бы вычислить уклон, измерив подъем на пробеге. Это означает, что вы выбираете какой-то прогон - пару значений x. Найдите значения y для этих двух x. Разница в значениях x - это пробег, а разница в значениях y - это рост. Подъем, разделенный бегом, и есть уклон.

Итак, если мы выберем x = 0 и x = 1, мы увидим, что f (0) = 0 и f (1) = 4. Таким образом, разбег равен 1–0 или 1. Подъем составляет 4–0 или 4. Подъем над разбегом составляет 4/1 = 4. Тот же результат. Но неважно, какие числа мы выберем. Поскольку f (1) = 4 и f (11) = 44, мы можем видеть, что для серии 11–1 = 10 у нас есть рост 44–4 = 40, а 40/10 равно… 4. Вы можете сделать это с помощью любые два числа, которые вы хотите назвать. Также не имеет значения, добавили ли мы смещение, потому что это не изменит уклон:

Если вы проделаете ту же математику, член +3 будет отменен при вычитании, и, таким образом, наклон этой линии по-прежнему будет равен 4.

Поскольку мы можем использовать любое число, которое нам нравится, в качестве разницы в x - delta x или назовем его d, мы могли бы написать формулу:

наклон = ((f (x + d) -f (x)) / d

Это именно то, что мы сделали для x = 0,1 или x = 1,11, просто записав в виде формулы. Независимо от того, что такое d, в нашем примере мы получаем 4. Так что, если бы d было наименьшим числом, которое мы могли бы иметь, не равным 0 (потому что, в конце концов, мы не можем делить на ноль)? Я не имею в виду 0,1, 0,01 или даже 0,001. Я имею в виду миллионы и миллионы нулей, за которыми следует 1. Такое маленькое количество не имеет значения, но ответ все равно будет 4.

Итак, давайте подставим нашу формулу, что f (x) = 4x + 3:

наклон = (((4 (x + d) +3) - (4x + 3)) / d
= (4x + 4d + 3–4x-3) / d
= 4d / d
= 4

Это дает нам большую уверенность в том, что наша исходная формула, ((f (x + d) -f (x)) / d верна. Это имеет смысл и дает нам ответ, который, как мы знаем, правильный.

Двойная проверка

Мы знаем, что производная f (x) = 10 равна нулю. Если задуматься, это действительно формула, в которой y = mx + b имеет значения m = 0, b = 10. Давайте попробуем там нашу формулу:

производная = (10–10) / d
= 0 / d
= 0

Имейте в виду, что f (x + d) = 10, а не 10 + d. Итак, наша формула все еще работает.

Доведение до предела

В математике есть идея брать предел, когда что-то приближается к чему-то другому. Так, например, если я сказал вам, что g (x) = 5 / x, тогда x не может быть нулем. Но он может приближаться к нулю, и по мере приближения результат будет все больше и больше. Итак, 5/1 = 5, но 5 / .1 = 50 и 5 / .001 = 5000. Таким образом, мы бы сказали, что предел 5 / x, когда x приближается к нулю, равен бесконечности.

Это может быть проблемой, если вы получите результат по формуле вроде 10 / сут. Мы еще не видели этого, но если бы мы видели, ответом на это будет бесконечность, потому что мы действительно принимаем предел формулы, когда d приближается к нулю. В большинстве задач часть d работает сама собой, но если мы прибавляем или вычитаем d, она настолько мала, что мы можем ее игнорировать. Если мы умножим на d, мы можем считать результат равным нулю. Если мы разделим на d, результат будет бесконечным.

Следующий шаг

Все это кажется большим трудом, чтобы просто найти наклон линии. Это. Но теперь мы можем взять эту формулу и применить ее к другим функциям, и у нас есть некоторая уверенность, что она также даст нам скорость изменения при некотором значении x. С линией скорость изменения никогда не меняется. Но подумайте о функции f (x) = x².

Если бы вы попытались аппроксимировать эту кривую прямыми линиями, вы могли бы сказать, что от 0 до 1 результат будет 0 и 1, поэтому мы можем нарисовать линию с наклоном 1 для этой части. От 1 до 2 результат 2 и 4. Это рост / разбег 2. Затем от 2 до 3 результат будет 4 и 9. Это наклон 5. Если вы посмотрите на отрицательные значения x, это будет то же самое, но отрицательное (то есть от -1 до 0 - это наклон -1).

Теперь, если вы сделаете это от 0 до 0,1 и от 0,1 до 0,2, вы получите лучшее приближение. Если бы вы сделали это от 0 до 0,01 и от 0,01 до 0,02, было бы еще лучше (но это займет много времени).

Наша формула должна сообщать нам скорость изменения между любым x и бесконечно малым увеличением от x. Положение ракетного корабля между настоящим моментом и бесконечно крошечным следующим периодом времени - это, например, его ускорение. Мы также можем кое-что сказать, посмотрев на уклон. Если бы я сказал вам, что я взял производную f (x) на уровне -1, а наклон был отрицательным, вы могли бы сказать мне, что линия в этой точке нисходящая (посмотрите на график, это так). Если бы я сказал вам, что производная положительна, вы знаете, что линия идет вверх. Но если бы я сказал вам, что наклон был отрицательным, упал до нуля (при x = 0), а затем начал становиться положительным, вы бы знали, что кривая достигает дна при x = 0. Что, если бы я сказал вам, что наклон положительный, нулевой, а затем отрицательный (это не так, но сделайте вид).

Это будет означать, что вы достигли пика, верно? Итак, если у вас есть математика, которая описывает, скажем, цену какого-либо товара на основе входных факторов, вы можете использовать ее, чтобы определить, когда цена будет самой низкой, а когда - самой высокой.

Мы не будем пробовать эту функцию, но представьте, что пытаетесь работать с sin (x) + (1/3 sin (3x)) + 1/5:

Много изменений наклона, пиков и впадин. Вы можете найти их все, используя производные.

Перемотка назад

Вернемся к f (x) = x².

Вот график, который включает касательную при x = 0,25. Наклон этой линии - это скорость изменения в этой точке, как если бы мы аппроксимировали прямой линией, которая была бесконечно крошечной. Этот наклон также является производной функции при x = 0,25. Вы можете видеть, что в этой точке наклон положительный; линия слева ниже, чем справа.

Вот касательная в точке x = -0,5:

Здесь наклон отрицательный. Мы можем найти наклон этих линий, используя нашу формулу.

f(x)=x²
=(f(x+d)-f(x))/d
=((x+d)²-x²)/d
=(x²+2xd+d²-x²)/d
=2xd/d
=2x

Итак, если x = 0,25, наклон касательной и, следовательно, производной будет 2 * 0,25 или 0,5. При x = -0,5 получаем -1.

Как и в случае со строкой, добавление константы не имеет значения. Итак, если вы построите график x² + 10 или x²-33, вы получите тот же ответ. Производная равна 2x.

Зная это, легко спросить, где 2x = 0? Это происходит при 0, и это минимум. Есть ли место, где наклон меняется с положительного на отрицательный? Нет. Итак, эта кривая не имеет пиков.

В реальной жизни

Вы знаете, что умножение 4 x 5 - это то же самое, что сказать 5 + 5 + 5 + 5, верно? Но на самом деле так никто не делает. Производные такие же. Все распространенные случаи отработаны, и вы их либо запоминаете, либо просматриваете в таблице. Многие практические вычисления пытаются переставить вещи так, чтобы они выглядели как комбинация вещей, которые вы можете найти в таблице.

Также существуют правила, как сочетать вещи. Так, например, мы знаем, как найти производную квадрата и прямой линии, и что, если бы у нас было:

f(x)=4x²+10x-3

Мы можем показать, что постоянное умножение также влияет на производную, поэтому производная 4x² равна 4 (2x) = 8x. Мы знаем, что производная 10x равна 10. И -3 не имеет значения, потому что производная равна нулю.

Итак, f ’(x) (распространенный способ записи производной функции) равно 8x + 10. Ситуация усложняется, если вы перемножаете вещи или используете триггерные функции и т. Д. Но вы можете очень легко найти правила для них.

Если вы не уверены, что производная 4x² такая же, как 4-кратная производная x², примите во внимание следующее:

4x²=x²+x²+x²+x²

Вы также можете убедить себя, что если производная, скажем, 10x равна 10, 8x равна 8 и 2x = 2, то:

f (x) = 10x
g (x) = 8x
h (x) = 2x
f (x) = g (x) + h (x)
f '(x) = g' (x) + h '(x) мы хотим знать, правда ли это
10 = 8 + 2 да, это правда !

Опять же, вы можете искать эти правила вместо того, чтобы каждый раз их выяснять. Например, вот хороший набор правил: https://en.wikibooks.org/wiki/Calculus/Tables_of_Derivatives

Имейте в виду, что вместо того, чтобы писать f ’(x), вы также можете увидеть что-то вроде:

d/dx x²

Это просто еще один способ сказать: возьмите производную от x².

Если вам нужны практические задачи, то этот сайт сделает их и проверит вашу работу: https://homepages.bluffton.edu/~nesterd/apps/derivs.html

Конечно, Wolfram Alpha великолепна, и я использовал ее для построения графиков в этом посте. Однако, чтобы получить полные пошаговые результаты, вам придется заплатить. Хороший бесплатный вариант от Microsoft. Он даст вам ответ, но также имеет кнопку, которая покажет работу шаг за шагом:

Заворачивать

Я надеюсь, что это дало вам лучшее представление о том, почему мы хотим создавать деривативы, и что лежащие в основе концепции довольно просты. Конечно, научиться играть в теннис несложно. Трудно стать Винус Уильямс. Некоторые математические задачи могут оказаться трудными по той или иной причине. Вот почему профессионалы практикуются, тренируются, тренируются.