Площадь поверхности сферы
Почему он такой же, как изогнутая полоса, которая его окружает?
Возьмите идеальную сферу. Оберните его в тюбик из бумаги (Рис. 1). Я утверждаю, что прямоугольный лист, необходимый для изготовления трубки, имеет такую же площадь, что и поверхность сферы.
Как это может быть?
Площадь прямоугольника проста. Чтобы заключить единичную сферу, нам нужна высота 2 и длина 2π. Общая площадь: 4π. Выполнено.
Поверхность сферы имеет ужасную кривизну. Как нам сопоставить изогнутые части с плоскими частями?
Давайте разделим сферу, цилиндр и прямоугольник на множество срезов, каждый шириной dW (рисунок 2).
Увеличьте два фрагмента. Сравните каждый срез сферы с соответствующим срезом цилиндра.
Полоски от цилиндра идентичны друг другу. Однако северная полоса от сферы кажется меньше экваториальной.
Чтобы общая площадь совпадала, каждая круглая полоса должна иметь одинаковую площадь.
Увеличьте масштаб до одного квадранта сферы, чтобы сравнить радиусы и ширину.
Рисунок 3 показывает экваториальную полосу шириной dW и радиусом 1 . Ремешок не идеально вписывается в сферу. Однако мы можем уменьшить dW до произвольного размера, чтобы добиться идеального прилегания.
Вот как выглядит северная полоса (Рисунок 4).
Широта полосы - угол θ. Радиус основания полосы будет cos θ.
Наконец, увеличьте масштаб части рис. 4, заключенной в прямоугольник (рис. 5).
Полоса отклонена от нас. Его ширина составляет не dW, а расстояние AB вдоль треугольника (Рис. 5 ).
По мере продвижения на север радиус полосы уменьшается в cos θ (Рисунок 4). Однако расстояние между точками A и B увеличивается во столько же раз ( Рисунок 5). Это расстояние - это ширина полосы.
У каждой бесконечно малой полосы одна и та же бесконечно малая площадь, независимо от положения на сфере. Каждая полоса соответствует ровно одной полосе прямоугольника 2 на 2π (Рисунки 1 и 2 ) .
Следовательно, единичная сфера также имеет площадь поверхности 4π.
Ваш дядя Боба!
