Angular mat-tab вернуться к первой вкладке из другого класса

используйте @Output в своем дочернем компоненте. это помогает, когда вы хотите передать данные из дочернего компонента в родительский. скажем, в уведомлении приложения вы обрабатываете перекрестную кнопку, поэтому при нажатии этой кнопки генерируется событие, которое будет прослушиваться родителем (где используется группа mat-tab-group), а в mat-tab- group, вы можете использовать свойство selectedIndex для изменения выбранной вкладки.

https://angular.io/guide/inputs-outputs

Итак, in-app-notification-account.ts

...
 constructor() {
   @Output() changeTab = new EventEmitter<();
   // this will emit event , which will be listened by parent
   handleCancel(){
    this.changeTab.emit(true)
  }
}

в вашем родительском компоненте, где вкладка мата используется в .html

<mat-tab-group [selectedIndex]="selectedIndex">
<mat-tab label="Notifications">
                    <app-notification-account (changeTab)="changeTab()">
                    </app-notification-account>
                </mat-tab>
    </mat-tab-group>

in .component.ts 
.. changeTab() {
   this.selectedIndex = this.selectedIndex === 1 ?0:1
  // or if you always want to go to first tab just set selectedIndex = 0
}