Масштабирование 3 кругов постоянно, пока они не пересекутся

Пусть окружности имеют центры с координатами:

и пусть соответствующие радиусы, которые вы вычислили, будут:

соответственно. Итак, похоже, вы ищете точку и коэффициент масштабирования со следующим свойством:

Аналогично, нам нужно найти точку в плоскости, которая является общей точкой пересечения трех окружностей, полученной путем масштабирования радиусов исходных окружностей с помощью общего коэффициента k, или в математической записи, нам нужно решить систему

Ясно, что приведенные выше системы и свойство, записанное перед системой, эквивалентны.

Чтобы упростить задачу, возведите в квадрат обе части каждого уравнения из системы:

По теореме Пифагора напишите

Вот почему в явных формулах система трех квадратных уравнений, приведенная выше, на самом деле является квадратичной системой уравнений:

который после переноса члена из правой части каждого уравнения в левую часть становится:

Разверните все квадраты разностей в каждом уравнении и измените порядок членов:

Чтобы упростить эту систему, вычтите второе уравнение из первого, затем вычтите третье уравнение из второго и сохраните одно из квадратных уравнений, скажем, сохраните первое квадратное уравнение:

Идея поиска решения этой системы заключается в следующем:

Чтобы упростить обозначения и выражения, мы можем использовать некоторые обозначения из линейной алгебры. Определите следующие два на два матрицы и два на один вектор-столбец:

и когда мы умножаем последнее матричное уравнение на обратную матрицу M:

Запишем также в матричных обозначениях

И, наконец, алгоритм нахождения точки пересечения трех окружностей после масштабирования с соответствующим масштабным коэффициентом можно сформулировать следующим образом:

Обратите внимание, что квадратное уравнение имеет два решения для z. Тот, который я выбрал, с минусом, является первой точкой пересечения всякий раз, когда три круга являются внешними по отношению к каждому и с начальными непересекающимися радиусами. Существует также вторая точка пересечения, соответствующая положительному решению для z. Если у вас есть информация с четвертой башни, вы сможете выбрать правильную точку и, возможно, даже полностью линеаризовать задачу. Но только с этими доступными данными у вас есть два решения.

Я протестировал алгоритм на следующем примере ручной работы:

x1 = 0;  y1 = 0;  r1 = sqrt(13)/3;
x2 = 5;  y2 = 1;  r2 = sqrt(13)/3;
x3 = 3;  y3 = 7;  r3 = sqrt(17)/3;

и он выводит правильное местоположение

x = 2;  y = 3;  

и коэффициент масштабирования k = 3.

Я реализовал это в Matlab/Octave, потому что мне удобно работать с линейной алгеброй:

function [xy, k] = location_scaled(x1, y1, r1, x2, y2, r2, x3, y3, r3)

        M = 2*[x2 - x1  y2 - y1; 
               x3 - x2  y3 - y2];
        A = [r1^2 - r2^2; 
             r2^2 - r3^2];
        B = [x2^2 + y2^2 - x1^2 - y1^2; 
             x3^2 + y3^2 - x2^2 - y2^2];
        A = M\A;
        B = M\B;

        a = A'*A;
        b = 2*B'*A - 2*[x1  y1]*A - r1^2;
        c = [x1 y1]*[x1; y1] - 2*[x1  y1]*B + B'*B;

        k = (- b - sqrt(b^2 - 4*a*c)) / (2*a);

        xy = k*A + B;
        k = sqrt(k);

end