R перебирает столбцы для создания новых столбцов (используя mutate или base R)

У меня есть данные следующим образом:

#create sample data frame
df <- data.frame(red_alice_type1 = runif(10, 0, 10),
                  blue_alice_type1 = runif(10, 0, 10),
                  green_alice_type1 = runif(10, 0, 10),
                  red_bob_type1 = runif(10, 0, 10),
                  blue_bob_type1 = runif(10, 0, 10),
                  green_bob_type1 = runif(10, 0, 10),
                  red_alice_type2 = runif(10, 0, 10),
                  blue_alice_type2 = runif(10, 0, 10),
                  green_alice_type2 = runif(10, 0, 10),
                  red_bob_type2 = runif(10, 0, 10),
                  blue_bob_type2 = runif(10, 0, 10),
                  green_bob_type2 = runif(10, 0, 10))

Я хотел бы умножить каждую пару цветов и имен, чтобы создать новый столбец. например blue_alice_type1 * blue_alice_type2 = blue_alice_product

Я пытаюсь перебрать столбцы, чтобы выполнить это умножение следующим образом:

#categories
colors <- c('red', 'blue', 'green')
names <- c('alice', 'bob')

#Attempt 1: Mutate
for (i in colors){
  for (j in names){
    df <- mutate_(df,
                    paste(i, j, 'product', sep = "_") = paste(i, j, 'type1', sep = "_") * 
                    paste(i, j, 'type2', sep = "_"))
  }
}

#Attempt 2: Base R
for (i in colors){
  for (j in names){
    assign( paste0('df$', paste(i, j, 'product', sep = "_")), 
            eval(parse(text=paste0('df$', paste(i, j, 'type1', sep = "_")))) * 
              eval(parse(text=paste0('df$', paste(i, j, 'type2', sep = "_")))))
  }
}

Попытка 1 выдает ошибку. Попытка 2 выполняется, но не создает новые столбцы. Любая помощь?