Заполните границы матрицы с помощью бикубической интерполяции

Пролог

вам нужно экстраполировать неизвестные области. Вам нужно решить, из какой информации вы хотите экстраполировать данные. Например, вы хотите использовать точки рядом с неизвестной областью или использовать точки, разбросанные по всей известной области. Оба подхода верны, но дают разные результаты, соответствующие разным потребностям.

Я буду использовать близкие точки к неизвестной области. Начну с более простого случая:

1. 1D линейная экстраполяция

   Линейная экстраполяция использует линию, образованную двумя известными точками. так, например, предположим, что этот вектор:

   

   Ось x — это индекс вектора/массива, а ось y — значение ячейки. Итак, я взял 2 последние известные точки (синие) и построил из них линию (зеленую). Там, где он пересекает следующие позиции массива, находятся ваши экстраполированные значения (красные). Итак, на С++ это выглядит так:

   float a[8]={ 1.0,2.0,4.0,8.0,10.0,7.0,0.0,0.0 }; // your vector (last two numbers are unknown)
   a[6]=a[4]+((a[5]-a[4])*2.0); // =4.0
   a[7]=a[4]+((a[5]-a[4])*3.0); // =1.0
   

2. 1D кубическая экстраполяция

   Это похоже на #1, но вместо линии вы используете кубическую кривую с 4 контрольными точками в параметрической полиномиальной форме. Большинство кубических кривых построены так, что если параметр t=0, вы получите вторую контрольную точку, а если t=1, то вы получите третью контрольную точку. Если вы используете t=<0,1>, вы будете плавно переключаться между ними. Однако нам нужно расширить диапазон после последней контрольной точки, поэтому t>=3 с шагом 1 для следующей точки. Так:

   

   float a[8]={ 1.0,2.0,4.0,8.0,10.0,7.0,0.0,0.0 }; // your vector (last two numbers are unknown)
   float a0,a1,a2,a3; // your cubic curve polynomial coefficients (computed from 4 control points a[2],a[3],a[4],a[5])
   float t; // curve parameter
   // here compute the a0,a1,a2,a3
   t=3.0; a[6]=a0+a1*t+a2*t*t+a3*t*t*t*t;
   t=4.0; a[7]=a0+a1*t+a2*t*t+a3*t*t*t*t;
   

   Теперь, как получить коэффициенты a0,a1,a2,a3? Вы можете использовать любой интерполяционный полином. Мне больше всего нравится это (маркер #3):

   • Proper implementation of cubic spline interpolation

   Итак, вот он (надеюсь, я не сделал глупой ошибки при замене pi на a[2+i]):

   float  d1,d2;
   d1=0.5*(a[4]-a[2]);
   d2=0.5*(a[5]-a[3]);
   a0=a[3];
   a1=d1;
   a2=(3.0*(a[4]-a[3]))-(2.0*d1)-d2;
   a3=d1+d2+(2.0*(-a[4]+a[3]));
   

3. Двухмерная бикубическая экстраполяция

   Это просто разделение проблемы на набор кубических экстраполяций 1D. Если вы посмотрите на графики из #2 сверху, вы увидите для бикубического режима следующее:

   

   Поэтому сначала вы вычисляете неизвестные столбцы (которые вы можете), а затем из них вычисляете недостающие строки (или наоборот).