Я нашел свой ответ. И это было очень сложно, так как почти каждый вопрос, пост, пример и т. д., которые я мог найти, касался игровых объектов, а не неигровых объектов.

Итак, мне нужно было использовать функцию AssignClientAuthority. Который я пробовал пару раз, но не использовал его правильно. Вот работающий сценарий C#, который можно применить к проигрывателю:

using UnityEngine;
using System.Collections;
using UnityEngine.Networking;

public class Player_Paint : NetworkBehaviour {

    private int range = 200;
    [SerializeField] private Transform camTransform;
    private RaycastHit hit;
    [SyncVar] private Color objectColor;
    [SyncVar] private GameObject objectID;
    private NetworkIdentity objNetId;

    void Update () {
        // only do something if it is the local player doing it
        // so if player 1 does something, it will only be done on player 1's computer
        // but the networking scripts will make sure everyone else sees it
        if (isLocalPlayer) {
            CheckIfPainting ();
        }
    }

    void CheckIfPainting(){
        // yes, isLocalPlayer is redundant here, because that is already checked before this function is called
        // if it's the local player and their mouse is down, then they are "painting"
        if(isLocalPlayer && Input.GetMouseButtonDown(0)) {
            // here is the actual "painting" code
            // "paint" if the Raycast hits something in it's range
            if (Physics.Raycast (camTransform.TransformPoint (0, 0, 0.5f), camTransform.forward, out hit, range)) {
                objectID = GameObject.Find (hit.transform.name);                                    // this gets the object that is hit
                objectColor = new Color(Random.value, Random.value, Random.value, Random.value);    // I select the color here before doing anything else
                CmdPaint(objectID, objectColor);    // carry out the "painting" command
            }
        }
    }

    [ClientRpc]
    void RpcPaint(GameObject obj, Color col){
        obj.GetComponent<Renderer>().material.color = col;      // this is the line that actually makes the change in color happen
    }

    [Command]
    void CmdPaint(GameObject obj, Color col) {
        objNetId = obj.GetComponent<NetworkIdentity> ();        // get the object's network ID
        objNetId.AssignClientAuthority (connectionToClient);    // assign authority to the player who is changing the color
        RpcPaint (obj, col);                                    // usse a Client RPC function to "paint" the object on all clients
        objNetId.RemoveClientAuthority (connectionToClient);    // remove the authority from the player who changed the color
    }
}

!!!Важно!!! Каждый объект, на который вы хотите повлиять, должен иметь компонент NetworkIdentity, и для него должно быть установлено значение LocalPlayerAuthority.

Таким образом, этот скрипт предназначен только для изменения случайного цвета, но вы должны иметь возможность изменить фактические вещи, чтобы применить это к любым изменениям в материалах или чему-либо еще, что вы хотите связать с объектом, не являющимся игроком. "Должен" - оптимальное слово - я еще не пробовал с какой-либо другой функциональностью.

РЕДАКТИРОВАТЬ - добавлено больше комментариев для учебных целей.

Unity 5.3.2p3 Назначение полномочий клиента неигровым объектам

Для всех, кто заинтересован в настройке, это мой подход

Компонент OnLocalPlayer на стороне клиента -> Команды вызова для назначения и удаления полномочий объекта путем передачи через объекты NetworkInstanceId. Вы можете добавить любой пользовательский интерфейс для вызова этих методов в этом компоненте.

Сторона сервера

    [Command]
    void CmdAssignObjectAuthority(NetworkInstanceId netInstanceId)
    {
        // Assign authority of this objects network instance id to the client
        NetworkServer.objects[netInstanceId].AssignClientAuthority(connectionToClient);
    }

    [Command]
    void CmdRemoveObjectAuthority(NetworkInstanceId netInstanceId)
    {
        // Removes the  authority of this object network instance id to the client
        NetworkServer.objects[netInstanceId].RemoveClientAuthority(connectionToClient);
    }  

Клиентская сторона 3. Объектный компонент ->
OnStartAuthority() - разрешено отправлять команды на сервер OnStopAuthority() - запрещено отправлять команды на сервер

Вот и все!

На 2018 год:

Вместо того, чтобы использовать Назначить полномочия объекта,

Я действительно рекомендую просто использовать

.SpawnWithClientAuthority

Это действительно очень просто.

На самом деле это так просто!

  [Command]
  void CmdPleaseSpawnSomething() {
 
        GameObject p = Instantiate(some_Prefab);
        NetworkServer.SpawnWithClientAuthority(p, connectionToClient);
    }

{В этом коде обратите внимание, что connectionToClient волшебным образом доступен без каких-либо усилий — это означает, что клиент, вызвавший эту команду.}

На клиенте (тот, которому вы хотите владеть вещью) просто вызовите CmdPleaseSpawnSomething().

Я имею в виду - на этом все, слава богу.

Здесь есть длинное ясное объяснение:

https://forum.unity.com/threads/assign-authority-to-local-client-gameobject.371113/#post-3592541

Я делаю небольшую модификацию этого кода и добавляю возможность скрипта, если мы разместим игрока, он сможет внести изменения через raycasting.

using UnityEngine;
using System.Collections;
using UnityEngine.Networking;

public class Raycasting_Object : NetworkBehaviour {

    private int range = 200;
//  [SerializeField] private Transform camTransform;
    private RaycastHit hit;
    [SyncVar] private Color objectColor;
    [SyncVar] private GameObject objectID;
    private NetworkIdentity objNetId;

    void Update () {
        if (isLocalPlayer) {    
            CheckIfPainting ();
        }
    }

    void CheckIfPainting(){

        Ray ray = Camera.main.ScreenPointToRay(Input.mousePosition);
        Debug.DrawRay (ray.origin, ray.direction * 100, Color.cyan);

        if(isLocalPlayer && Input.GetMouseButtonDown(0)) {
            if (Physics.Raycast (ray.origin, ray.direction, out hit, range)) {
                objectID = GameObject.Find (hit.transform.name);                                    // this gets the object that is hit
                Debug.Log(hit.transform.name);
                objectColor = new Color(Random.value, Random.value, Random.value, Random.value);    // I select the color here before doing anything else
                CmdPaint(objectID, objectColor);
            }
        }

    }

    [ClientRpc]
    void RpcPaint(GameObject obj, Color col){
        obj.GetComponent<Renderer>().material.color = col;      // this is the line that actually makes the change in color happen
    }

    [Command]
    void CmdPaint(GameObject obj, Color col) {
        objNetId = obj.GetComponent<NetworkIdentity> ();        // get the object's network ID
        objNetId.AssignClientAuthority (connectionToClient);    // assign authority to the player who is changing the color
        RpcPaint (obj, col);                                    // usse a Client RPC function to "paint" the object on all clients
        objNetId.RemoveClientAuthority (connectionToClient);    // remove the authority from the player who changed the color
    }
}