Является ли Monoid[String] действительно моноидом в scala?

Так законно ли говорить, что ассоциативность требует коммутативности для выполнения закона моноида?

Нет. Бинарная операция не обязательно должна быть коммутативной, чтобы быть ассоциативной. Тот факт, что ("Foo" + "Bar") == ("Bar" + "Foo") ложно, не имеет отношения к тому факту, что + является ассоциативным для String..

Итак, действителен ли String Monoid в любом случае?

Да, вы можете иметь Monoid[String].

По определению:

Моноид — это множество, замкнутое ассоциативной бинарной операцией + и имеющее элемент идентичности I в S так, что для всех a в S выполняется I + a = a + I = a.

Моноид должен содержать хотя бы один элемент.

Пусть + будет бинарной операцией для Monoid[String]. Для любых двух строк, a и b, a + b также является String, поэтому бинарная операция закрывается над типом String. Без строгого доказательства мы также знаем, что оно ассоциативно.

то есть для всех строк a, b и c:

(a + b) + c == a + (b + c)

У нас также есть элемент идентификации "" (пустая строка), потому что для любой строки a, a + "" == a и "" + a == a.

Моноид, бинарная операция которого также является коммутативной, называется коммутативным моноидом. И у вас явно не может быть коммутативного моноида для String с помощью операции +.