Присвоение NULL середине c-строки

Я пишу функцию eliminate(char *str, int character), которая принимает на вход c-строку и удаляемый символ, сканирует str на наличие экземпляров character и заменяет значение по текущему индексу на... что? Я думал NULL, но это кажется рискованным и может привести к путанице с другими функциями, которые полагаются на нуль-терминатор в c-строке. Например:

char *eliminate(char *str, int character) {
    if (!str) return str;

    int index = 0;
    while (str[index])
       if (str[index] == character)
          str[index++] = '\0'; //THIS LINE IS IN QUESTION
    return str;
}

Мой вопрос в том, как мне правильно реализовать эту функцию, чтобы я эффективно удалял все экземпляры указанного символа в строке? И если правильное исключение присваивает заменяемому символу '\0', как это не влияет на всю строку (т. е. она фактически заканчивается на первом встреченном '\0'). Например, если бы я дважды запускал вышеуказанную функцию для одной и той же строки, второй вызов просматривал бы строку только до того места, где был заменен последний символ.