Обратимость во времени полунеявного метода численного интегрирования Эйлера

Глядя на пример закона Гука в Semi-implicit_Euler_method

v_{n+1} = v_n - omega^2 x_n dt
x_{n+1} = x_n + v_{n+1} dt

Один из способов думать об обратимости — можем ли мы восстановить v_n и x_n при наличии v_{n+1} и x_{n+1}. Перестановка второго

x_n = x_{n+1) - v_{n+1} dt

чтобы мы могли найти x_n, зная это, мы можем найти v_n

v_n = v_{n+1} + omega^2 x_n dt

Обратите внимание, что это отличается от того, что вы получили бы, если бы запустили полунеявный метод Эйлера в обратном направлении, обратив время с помощью dt = - dt. Делая это, вы сделаете два шага в другом порядке.

v_n = v_{n+1} + omega^2 x_{n+1} dt
x_n = x_{n+1} - v_n dt

В этой таблице Google с законом Гука я реализовал метод для закона Гука. Столбцы B и C - это положение и скорость движения вперед. Столбцы D и E начинаются с конца и применяют метод с обратным временем. Столбцы F и G начинаются с конца, но применяют метод восстановления исходных данных. Вы можете видеть, что графики в прямом и обратном направлении не совсем совпадают.