Я немного сбит с толку, и мне нужен кто-нибудь, чтобы меня поправить. Давайте обрисуем мое текущее понимание:
Где E - эндофунктор, а A - некоторая категория:
E : A -> A.
Поскольку все типы и морфизмы в Haskell относятся к категории Hask, не является ли любой функтор в Haskell также эндофунктором? F : Hask -> Hask.
У меня хорошее предчувствие, что я ошибаюсь, и я как-то упрощаю это, и мне бы хотелось, чтобы кто-нибудь сказал мне, какой я идиот. Спасибо.
Вы можете уточнить, спрашиваете ли вы о «функторах в Haskell» или о Functors. Не всегда ясно, какая категория предполагается, когда в Haskell используются термины теории категорий.
Но да, предположение по умолчанию - Hask, который считается категорией типов Haskell с функциями как морфизмами. В этом случае эндофунктор F на Hask будет сопоставлять любой тип A с типом F (A) и любую функцию f между двумя типами A и B с функцией F ( f) между некоторыми типами F (A) и F (B).
Если мы ограничимся только теми эндофункторами, которые сопоставляют любой тип a с типом (f a), где f является конструктором типа с видом * -> *, то мы можем описать связанную карту для функций как функцию высшего порядка с типом (a -> b) -> (f a -> f b), который имеет Конечно, типовой класс называется Functor.
Однако легко представить себе хорошо работающие эндофункторы на Hask, которые нельзя записать (напрямую) как экземпляр Functor, например, функтор, отображающий тип a в Either a t. И хотя очевидно, что в функторе из Hask в какую-то другую категорию нет особого смысла, разумно рассмотреть (контравариантный) функтор из Hask в Hask op.
Кроме того, экземпляры Functor обязательно отображаются из всей категории Hask в какое-то ее подмножество, которое, таким образом, также образует категорию. Но также разумно говорить о функторах между подмножествами Hask. Например, рассмотрим функтор, который отправляет типы Maybe a в [a].
Вы можете ознакомиться с category-extras package, который предоставляет некоторые структуры, основанные на теории категорий, встроенные в Hask вместо того, чтобы принимать его во всей полноте.
forall a. Maybe a -> [a] должна быть естественным преобразованием. maybeToList в данных. Может быть, это (или достаточно описывает) все, что вы упомянули, я полагаю, но мое собственное понимание теории категорий довольно ограничено, так что не принимайте это как евангелие ...
- person C. A. McCann; 18.07.2010
a на тип (a -> t) для некоторого фиксированного t и любую функцию a -> b на функцию (b -> t) -> (a -> t). Это двойник стандартного Functor преобразования a в (t -> a) для фиксированного t, более известного как Reader монада.
- person C. A. McCann; 18.07.2010
Даже если в конечном итоге вы будете манипулировать Hask, есть много других категорий, которые могут быть построены на Hask, что может иметь значение для решения данной проблемы:
Hask ^ op, что Hask со всеми перевернутыми стрелкамиHask * Hask, функторы на нем - бифункторыa, морфизмы - коммутативные треугольникивозьмите копию Категории для рабочего математика Mac Lane, чтобы иметь определения, и попытайтесь самостоятельно найти проблему, которую они решают в Haskell. Особенно подавитесь сопряженными функторами (которые являются начальными / конечными объектами в правильной категории) и их отношениями с монадами.
Вы увидите, что даже если существует одна большая категория (Hask или, возможно, «поднятые объекты из Hask с помощью правильных стрелок / products / ...», которая инкапсулирует языковые варианты Haskell, такие как нестрогость и ленивость), собственно производные категории выразительны.
Возможно релевантное (или, по крайней мере, интересное) обсуждение конкретно монад можно найти в статье «Монады не обязательно должны быть эндофункторами»:
http://www.cs.nott.ac.uk/~txa/publ/Relative_Monads.pdf
Monad является более узким понятием, как в том же смысле, что я описываю для Functor, так и с некоторыми дополнительными сложностями, возникающими из-за очень агрессивного декартова - закрытая структура Hask.
- person C. A. McCann; 18.07.2010
