Как мне заменить этот семафор на монитор?

Вы можете сделать это с помощью WaitHandle вместо семафора. Это была бы самая простая альтернатива и работала бы лучше, чем семафор:

ManualResetEvent manualResetEvent = new ManualResetEvent(false);
byte b;
public byte Function1()
{
    // new thread starting in Function2;

    manualResetEvent.WaitOne();
    return b;
}

public void Function2()
{
    // do some thing
    b = 0;
    manualResetEvent.Set();
}

@Reed предоставил элегантное решение, если вам нужно дождаться нескольких потоков.

Возможно, вы не захотите использовать Monitor для этого. Как указано в @Reed, события будет достаточно, и оно предоставит наиболее чистое и понятное решение, соответствующее требованиям вашего кода.
Накладные расходы на использование реальных примитивов синхронизации операционной системы, скорее всего, не будут иметь значения в вашем случае и при использовании, например, Monitor обеспечит лишь убывающую отдачу за счет гораздо большей сложности.

С учетом сказанного, вот реализация, использующая Monitor и сигнализацию.

Вы можете использовать флаг bool, охраняемый блокировкой, чтобы указать, что вы закончили, и избежать ожидания в этом случае. (A)
Если вы действительно начинаете новый поток в Function2(), где в комментариях указывается и используете lock() вокруг обоих WaitOne() и Release(), вам вообще не нужен флаг. (В)

A, используя флаг:

class Program
{
    static object syncRoot = new object();
    //lock implies a membar, no need for volatile here.
    static bool finished = false;
    static byte b;

    public static byte Function1()
    {
        lock (syncRoot)
        {
            //Wait only if F2 has not finished yet.
            if (!finished)
            {
                Monitor.Wait(syncRoot);
            }
        }
        return b;
    }

    static public void Function2()
    {
        // do some thing
        b = 1;
        lock (syncRoot)
        {
            finished = true;
            Monitor.Pulse(syncRoot);
        }
    }

    static void Main(string[] args)
    {
        new Thread(Function2).Start();
        Console.WriteLine(Function1());
    }
}

B, начиная с Function1:

class Program
{

    static object syncRoot = new object();
    static byte b;

    public static byte Function1()
    {
        lock (syncRoot)
        {
            // new thread starting in Function2;
            new Thread(Function2).Start();
            Monitor.Wait(syncRoot);
        }
        return b;
    }

    static public void Function2()
    {
        // do some thing
        b = 1;
        //We need to take the lock here as well
        lock (syncRoot)
        {
            Monitor.Pulse(syncRoot);
        }
    }

    static void Main(string[] args)
    {
        Console.WriteLine(Function1());
    }
}