Как рассчитать вероятность подбора кривой в scipy?

Ваша функция правдоподобия

который представляет собой просто сумму логарифма функции плотности вероятности распределения Гаусса.

это вероятность подгонки мю и сигмы для вашего остатка, а не вероятность вашей модели с учетом ваших данных. Одним словом, ваш подход неправильный.

Поскольку вы выполняете нелинейный метод наименьших квадратов, следуя тому, что уже упоминал @usethedeathstar, вы должны идти прямо к F-test. . Рассмотрим следующий пример, измененный с http://www.walkingrandomly.com/?p=5254, и мы проводим F-test с помощью R. И мы обсудим, как перевести его в python в конце.

# construct the data vectors using c()
> xdata = c(-2,-1.64,-1.33,-0.7,0,0.45,1.2,1.64,2.32,2.9)
> ydata = c(0.699369,0.700462,0.695354,1.03905,1.97389,2.41143,1.91091,0.919576,-0.730975,-1.42001)
# some starting values
> p1 = 1
> p2 = 0.2
> p3 = 0.01

# do the fit
> fit1 = nls(ydata ~ p1*cos(p2*xdata) + p2*sin(p1*xdata), start=list(p1=p1,p2=p2))
> fit2 = nls(ydata ~ p1*cos(p2*xdata) + p2*sin(p1*xdata)+p3*xdata, start=list(p1=p1,p2=p2,p3=p3))

# summarise
> summary(fit1)

Formula: ydata ~ p1 * cos(p2 * xdata) + p2 * sin(p1 * xdata)

Parameters:
   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
p1 1.881851   0.027430   68.61 2.27e-12 ***
p2 0.700230   0.009153   76.51 9.50e-13 ***
---
Signif. codes:  0 ?**?0.001 ?*?0.01 ??0.05 ??0.1 ??1

Residual standard error: 0.08202 on 8 degrees of freedom

Number of iterations to convergence: 7 
Achieved convergence tolerance: 2.189e-06

> summary(fit2)

Formula: ydata ~ p1 * cos(p2 * xdata) + p2 * sin(p1 * xdata) + p3 * xdata

Parameters:
   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
p1  1.90108    0.03520  54.002 1.96e-10 ***
p2  0.70657    0.01167  60.528 8.82e-11 ***
p3  0.02029    0.02166   0.937     0.38    
---
Signif. codes:  0 ?**?0.001 ?*?0.01 ??0.05 ??0.1 ??1

Residual standard error: 0.08243 on 7 degrees of freedom

Number of iterations to convergence: 9 
Achieved convergence tolerance: 2.476e-06

> anova(fit2, fit1)
Analysis of Variance Table

Model 1: ydata ~ p1 * cos(p2 * xdata) + p2 * sin(p1 * xdata) + p3 * xdata
Model 2: ydata ~ p1 * cos(p2 * xdata) + p2 * sin(p1 * xdata)
  Res.Df Res.Sum Sq Df     Sum Sq F value Pr(>F)
1      7   0.047565                             
2      8   0.053813 -1 -0.0062473  0.9194 0.3696

здесь у нас две модели, fit1 имеет 2 параметра, поэтому остаток имеет 8 степеней свободы; fit2 имеет один дополнительный параметр, а остаток имеет 7 степеней свободы. Модель 2 значительно лучше? Нет, значение F равно 0,9194 при (1,7) степенях свободы и не имеет значения.

Получить таблицу ANOVA: Residue DF легко. Остаточная сумма квадратов: 0.08202*0.08202*8=0.05381 и 0.08243*0.08243*7=0.04756293 (примечание: 'Стандартная ошибка невязки: 0,08243 при 7 степенях свободы' и т. д.). В python можно получить по (y_observed-y_fitted)**2, так как scipy.optimize.curve_fit() не возвращает остатки.

F-ratio равно 0.0062473/0.047565*7, а чтобы получить P-значение: 1-scipy.stats.f.cdf(0.9194, 1, 7).

Складываем их вместе, у нас есть python эквивалент:

In [1]:

import scipy.optimize as so
import scipy.stats as ss
xdata = np.array([-2,-1.64,-1.33,-0.7,0,0.45,1.2,1.64,2.32,2.9])
ydata = np.array([0.699369,0.700462,0.695354,1.03905,1.97389,2.41143,1.91091,0.919576,-0.730975,-1.42001])
def model0(x,p1,p2):
    return p1*np.cos(p2*x) + p2*np.sin(p1*x)
def model1(x,p1,p2,p3):
    return p1*np.cos(p2*x) + p2*np.sin(p1*x)+p3*x
p1, p2, p3 = 1, 0.2, 0.01
fit0=so.curve_fit(model0, xdata, ydata, p0=(p1,p2))[0]
fit1=so.curve_fit(model1, xdata, ydata, p0=(p1,p2,p3))[0]
yfit0=model0(xdata, fit0[0], fit0[1])
yfit1=model1(xdata, fit1[0], fit1[1], fit1[2])
ssq0=((yfit0-ydata)**2).sum()
ssq1=((yfit1-ydata)**2).sum()
df=len(xdata)-3
f_ratio=(ssq0-ssq1)/(ssq1/df)
p=1-ss.f.cdf(f_ratio, 1, df)
In [2]:

print f_ratio, p
0.919387419515 0.369574503394

Как отметил @usethedeathstar: когда остаток нормально распределен, нелинейный метод наименьших квадратов IS является максимальной вероятностью. Следовательно, F-критерий и критерий отношения правдоподобия эквивалентны. Потому что F-ratio — это монотонное преобразование отношения правдоподобия λ.

Или в описательной форме см.: http://www.stata.com/support/faqs/statistics/chi-squared-and-f-distributions/

Ваша формула кажется мне правильной. Это должно дать вам те же результаты, что и scipy.stats.norm.logpdf(x, loc=mu, scale=sigma)

Поскольку у вас уже есть оценки мю и сигма, я не думаю, что есть функция для проверки отношения правдоподобия, куда вы можете вставить свои результаты.

Если у вас есть оценки двух моделей, где одна вложена в другую, то вы можете легко рассчитать ее самостоятельно.

http://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood-ratio_test

Вот часть метода в statsmodels, который вычисляет LR-тест для сравнения двух вложенных линейных моделей https://github.com/statsmodels/statsmodels/blob/master/statsmodels/regression/linear_model.py#L1531