Как найти квадратный корень без использования функции sqrt?

Есть лучший алгоритм, которому требуется не более 6 итераций для схождения до максимальной точности для чисел типа double:

#include <math.h>

double sqrt(double x) {
    if (x <= 0)
        return 0;       // if negative number throw an exception?
    int exp = 0;
    x = frexp(x, &exp); // extract binary exponent from x
    if (exp & 1) {      // we want exponent to be even
        exp--;
        x *= 2;
    }
    double y = (1+x)/2; // first approximation
    double z = 0;
    while (y != z) {    // yes, we CAN compare doubles here!
        z = y;
        y = (y + x/y) / 2;
    }
    return ldexp(y, exp/2); // multiply answer by 2^(exp/2)
}

Алгоритм начинается с 1 в качестве первого приближения для значения квадратного корня. Затем на каждом шаге он улучшает следующее приближение, принимая среднее значение между текущим значением y и x/y. Если y = sqrt(x), будет то же самое. Если y> sqrt(x), то x/y ‹sqrt(x) примерно на такую ​​же сумму. Другими словами, он очень быстро сойдется.

ОБНОВЛЕНИЕ: чтобы ускорить сходимость для очень больших или очень маленьких чисел, изменена функция sqrt() для извлечения двоичной экспоненты и вычисления квадратного корня из числа в [1, 4) диапазоне. Теперь для получения двоичной экспоненты требуется frexp() из <math.h>, но можно получить эту экспоненту, извлекая биты из числового формата IEEE-754 без использования frexp().

Почему бы не попробовать использовать вавилонский метод для поиска квадратного корня.

Вот мой код для этого:

double sqrt(double number)
{
    double error = 0.00001; //define the precision of your result
    double s = number;

    while ((s - number / s) > error) //loop until precision satisfied 
    {
        s = (s + number / s) / 2;
    }
    return s;
}

Удачи!

Полностью удалите свой nCount (поскольку есть некоторые корни, для которых этот алгоритм потребует много итераций).

double SqrtNumber(double num)
{
    double lower_bound=0; 
    double upper_bound=num;
    double temp=0;

    while(fabs(num - (temp * temp)) > SOME_SMALL_VALUE)
    {
           temp = (lower_bound+upper_bound)/2;
           if (temp*temp >= num)
           {
                   upper_bound = temp;
           }
           else
           {
                   lower_bound = temp;
           }
    }
    return temp;
 }

Как я обнаружил, этот вопрос старый и имеет много ответов, но у меня есть простой ответ, который отлично работает.

#define EPSILON 0.0000001 // least minimum value for comparison
double SquareRoot(double _val) {
    double low = 0; 
    double high = _val;
    double mid = 0; 

    while (high - low > EPSILON) {
            mid = low + (high - low) / 2; // finding mid value
            if (mid*mid > _val) {
                high = mid;
            } else {
                low = mid;
            }    
    }   
    return mid;
}

Надеюсь, это будет полезно для будущих пользователей.

если вам нужно найти квадратный корень без использования sqrt(), используйте root=pow(x,0.5).

Где x - значение, квадратный корень которого вам нужно найти.

Вот очень простой, но небезопасный подход к нахождению квадратного корня из числа. Небезопасно, потому что он работает только с натуральными числами, когда вы знаете, что основание или показатель степени являются натуральными числами. Мне пришлось использовать его для задачи, в которой мне не разрешалось использовать #include ‹cmath› -библиотеку, и мне не разрешалось использовать указатели.

потенция = основание ^ показатель степени

// FUNCTION: square-root
int sqrt(int x)
{
    int quotient = 0;
    int i = 0;

    bool resultfound = false;
    while (resultfound == false) {
        if (i*i == x) {
          quotient = i;
          resultfound = true;
        }
        i++;
    }
    return quotient;
}

Это очень простой рекурсивный подход.

double mySqrt(double v, double test) {
    if (abs(test * test - v) < 0.0001) {
        return test;
    }

    double highOrLow = v / test;
    return mySqrt(v, (test + highOrLow) / 2.0);
}
double mySqrt(double v) {
    return mySqrt(v, v/2.0);
}

Вот отличный код для поиска sqrt, который работает быстрее, чем исходная функция sqrt.

float InvSqrt (float x) 
{
    float xhalf = 0.5f*x;
    int i = *(int*)&x;
    i = 0x5f375a86 - (i>>1);
    x = *(float*)&i;
    x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
    x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
    x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
    x=1/x;
    return x;
}

После просмотра предыдущих ответов я надеюсь, что это поможет разрешить любые неясности. В случае, если сходство в предыдущих решениях и моем решении иллюзорно, или этот метод решения для корней неясен, я также сделал график, который можно найти здесь.

Это рабочая корневая функция, способная решать любые задачи с корнем n-й степени.

(по умолчанию для этого вопроса используется квадратный корень)

#include <cmath> 
// for "pow" function

double sqrt(double A, double root = 2) {
    const double e = 2.71828182846;
    return pow(e,(pow(10.0,9.0)/root)*(1.0-(pow(A,-pow(10.0,-9.0)))));
}

Объяснение:

щелкните здесь, чтобы просмотреть график

Это работает через ряды Тейлора, логарифмические свойства и немного алгебры.

Возьмем, например:

log A = N
   x

* Примечание: для квадратного корня N = 2; для любого другого корня вам нужно изменить только одну переменную N.

1) Измените базу, преобразуйте базовую логарифмическую функцию 'x' в натуральный логарифм,

log A   =>   ln(A)/ln(x) = N
   x

2) Переставьте, чтобы изолировать ln (x), и в конечном итоге просто 'x',

ln(A)/N = ln(x)

3) Установите обе стороны как экспоненты от 'e',

e^(ln(A)/N) = e^(ln(x))  >~{ e^ln(x) == x }~>  e^(ln(A)/N) = x

4) Ряд Тейлора представляет "ln" как бесконечный ряд,

ln(x) = (k=1)Sigma: (1/k)(-1^(k+1))(k-1)^n

           <~~~ expanded ~~~>

[(x-1)] - [(1/2)(x-1)^2] + [(1/3)(x-1)^3] - [(1/4)(x-1)^4] + . . .

* Примечание: продолжайте серию для повышения точности. Для краткости в моей функции используется 10 ^ 9, которая выражает сходимость ряда для натурального логарифма примерно с 7 цифрами или 10-миллионным разрядом для точности,

ln(x) = 10^9(1-x^(-10^(-9)))

5) Теперь просто вставьте это уравнение для натурального логарифма в упрощенное уравнение, полученное на шаге 3.

e^[((10^9)/N)(1-A^(-10^-9)] = nth-root of (A)

6) Эта реализация может показаться излишней; однако его цель - продемонстрировать, как можно найти корни, не угадывая и не проверяя. Кроме того, это позволит вам заменить функцию pow из библиотеки cmath вашей собственной функцией pow:

double power(double base, double exponent) {
    if (exponent == 0) return 1;
    int wholeInt = (int)exponent;
    double decimal = exponent - (double)wholeInt;
    if (decimal) {
        int powerInv = 1/decimal;
        if (!wholeInt) return root(base,powerInv);
        else return power(root(base,powerInv),wholeInt,true);
    }
    return power(base, exponent, true);
}

double power(double base, int exponent, bool flag) {
    if (exponent < 0) return 1/power(base,-exponent,true);
    if (exponent > 0) return base * power(base,exponent-1,true);
    else return 1;
}

int root(int A, int root) {
    return power(E,(1000000000000/root)*(1-(power(A,-0.000000000001))));
}