Я хочу решить эти уравнения с помощью MATLAB и я уверен в этом. является ненулевым решением. Уравнения:
0.7071*x + 0.7071*z = x
-0.5*x + 0.7071*y + 0.5*z = y
-0.5*x - 0.7071*y + 0.5*z = z
Я написал в MATLAB:
[x,y,z]=solve('0.7071 * x+0.7071 * z=x','-0.5 * x+0.7071 * y+0.5 * z=y','-0.5 * x-0.7071 * y+0.5 * z=z');
Но результат x = y = z = 0. Как я уже сказал, я уверен, что решение есть. Кто-нибудь может помочь?
Вы ищете нетривиальное решение v для A*v=v с v=[x;y;z] и...
A =
0.70710678118655 0 0.70710678118655
-0.50000000000000 0.70710678118655 0.50000000000000
-0.50000000000000 -0.70710678118655 0.50000000000000
Вы можете преобразовать это в (AI)v=0, где I — единичная матрица 3x3. Что вам нужно сделать, чтобы найти нетривиальное решение, так это проверить нулевое пространство A-I:
>> null(A-eye(3))
ans =
0.67859834454585
-0.67859834454585
0.28108463771482
Итак, у вас есть одномерное нулевое пространство. В противном случае вы увидите более одного столбца. Каждая линейная комбинация столбцов является точкой в этом пустом пространстве, которую A-I отображает в нулевой вектор. Таким образом, каждое кратное этому вектору является решением вашей проблемы.
На самом деле ваша матрица A является матрицей вращения первого рода, потому что det(A)=1 и A'*A=identity. Таким образом, он имеет собственное значение 1 с осью вращения в качестве соответствующего собственного вектора. Вектор, который я вычислил выше, является нормализованной осью вращения.
Примечание. Для этого я заменил ваш 0,7071 на sqrt (0,5). Если ошибки округления вызывают беспокойство, но вы заранее знаете, что должно быть нетривиальное решение, лучше всего выполнить сингулярное разложение A-I и выбрать самый правый сингулярный вектор:
>> [u,s,v] = svd(A-eye(3));
>> v(:,end)
ans =
0.67859834454585
-0.67859834454585
0.28108463771482
Таким образом, вы можете вычислить вектор v, который минимизирует |A*v-v| при условии, что |v|=1, где |.| является евклидовой нормой.
[V D] = eig(A) и выберите вектор V(:,3), соответствующий действительному собственному значению 1 D(3,3). На этой странице могут быть некоторые пояснения: en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue,_eigenvector_and_eigenspace
- person Amro; 14.11.2009
[Q,R]=qr(A'-lambda*eye(size(A))); v=Q(:,end). Однако для матриц вращения 3x3 существует еще более простой способ вычисления оси вращения.
- person sellibitze; 14.11.2009
Я не думаю, что вам нужно использовать функцию solve, поскольку ваши уравнения представляют собой систему линейных уравнений.
Преобразование в виде матричного уравнения:
Ax = B
В твоем случае:
| -0.2929 0.0 0.7071 | | x | | 0 |
| -0.5 -0.2929 0.5 | | y | = | 0 |
| -0.5 -0.7071 -0.5 | | z | | 0 |
Используйте встроенный функционал MATLAB для ее решения. См., например. MATLAB: решение линейных систем уравнений.
Ядром MATLAB является решение такого рода уравнений.
Использование FreeMat (среда с открытым исходным кодом, подобная MATLAB, с лицензией GPL; URL прямой загрузки для установщика Windows):
A = [ -0.2929 0.0 0.7071; -0.5 -0.2929 0.5; -0.5 -0.7071 -0.5 ]
B = [0.0; 0.0; 0.0]
A\B
ans =
0
0
0
Итак, решение: x = 0, y = 0, z = 0
Раствор также можно получить вручную. Начиная с двух последних уравнений:
-0.5*x + 0.7071*y + 0.5*z = y
-0.5*x - 0.7071*y + 0.5*z = z
0.2929*y = -0.5*x + 0.5*z
0.7071*y = -0.5*x + 0.5*z
0.2929*y = 0.7071*y
Таким образом, у = 0,0 и:
0.7071*y = -0.5*x + 0.5*z
0 = -0.5*x + 0.5*z
0 = -0.5*x + 0.5*z
0.5*x = 0.5*z
x = z
Подставляем в первое уравнение:
0.7071*x + 0.7071*z = x
0.7071*x + 0.7071*x = x
1.4142*x = x
Таким образом, х = 0,0. А так как x = z, то z = 0,0.
x = 0, y = 0, z = 0 — правильное решение. Эту проблему можно легко решить своими руками.
Друзья используют команду MATLAB rref(A) для Ax=B.... Это даст верхнюю треугольную матрицу. Тогда вы можете легко вычислить нетривиальные решения... Но имейте в виду, что если rref(A)=I (как в вашем случае), то нетривиальных решений не существует. УДАЧИ
