Проверить, обратима ли матрица над конечным полем

Для этого лучше использовать Sage или другой подходящий инструмент.

Нижеследующее является просто бесхитростной попыткой неспециалиста что-то сделать, но метод исключения Гаусса с поворотом должен дать точный результат для обратимости:

import random
from scipy.linalg import toeplitz
import numpy as np

def is_invertible_F2(a):
    """
    Determine invertibility by Gaussian elimination
    """
    a = np.array(a, dtype=np.bool_)
    n = a.shape[0]
    for i in range(n):
        pivots = np.where(a[i:,i])[0]
        if len(pivots) == 0:
            return False

        # swap pivot
        piv = i + pivots[0]
        row = a[piv,i:].copy()
        a[piv,i:] = a[i,i:]
        a[i,i:] = row

        # eliminate
        a[i+1:,i:] -= a[i+1:,i,None]*row[None,:]

    return True

n = 10
column = [random.choice([0,1]) for x in xrange(n)]
row = [column[0]]+[random.choice([0,1]) for x in xrange(n-1)]
matrix = toeplitz(column, row)

print(is_invertible_F2(matrix))
print(int(np.round(np.linalg.det(matrix))) % 2)

Обратите внимание, что np.bool_ аналогичен F_2 только в ограниченном смысле --- бинарная операция + в F_2 является - для логического значения, а унарная операция - является +. Хотя умножение то же самое.

>>> x = np.array([0, 1], dtype=np.bool_)
>>> x[:,None] - x[None,:]
array([[False,  True],
       [ True, False]], dtype=bool)
>>> x[:,None] * x[None,:]
array([[False, False],
       [False,  True]], dtype=bool)

Приведенное выше исключение Гаусса использует только эти операции, поэтому оно работает.

К сожалению, SymPy пока не может обрабатывать конечные поля в матрицах, хотя поддержка планируется.

Однако, как отметили некоторые комментаторы, вы можете просто проверить определитель над целыми числами. Если это 1 (mod 2), матрица обратима. Чтобы на самом деле найти инверсию, вы можете просто взять нормальную инверсию над целыми числами, умножить на определитель (чтобы у вас не было дробей) и изменить каждый элемент на 2. Я не могу представить, что это было бы слишком эффективно, и вы, вероятно, могли бы использовать любую библиотеку матриц, даже числовую (с округлением до ближайшего целого числа). SymPy также может выполнять каждый из этих шагов.

Я должен указать, что в общих циклических конечных полях часть «умножения на определитель» необходимо будет отменить, умножив на обратный мод p (это не нужно по модулю 2, потому что единственная возможность - 1).