Как связать туннели SSH

Я пытаюсь настроить простую цепочку туннелей SSH.

У меня есть следующие машины:

1. локальная машина по адресу 10.0.0.1.
2. удаленная машина по адресу 10.0.0.2.

У меня есть следующие программы:

1. клиент.py:

   import socket
   
   CLIENT_HOST = [...]
   CLIENT_PORT = [...]
   
   sock = socket.socket(socket.AF_INET, socket.SOCK_STREAM)
   sock.setsockopt(socket.SOL_SOCKET, socket.SO_REUSEADDR, 1)
   sock.connect((CLIENT_HOST, CLIENT_PORT))
   sock.send('test')
   sock.close()
   

2. сервер.py:

   import socket
   
   SERVER_HOST = [...]
   SERVER_PORT = [...]
   
   server = socket.socket(socket.AF_INET, socket.SOCK_STREAM)
   server.setsockopt(socket.SOL_SOCKET, socket.SO_REUSEADDR, 1)
   server.bind((SERVER_HOST, SERVER_PORT))
   server.listen(1)
   client = server.accept()[0]
   print client.recv(1024)
   client.close()
   server.close()
   

Теперь:

1. Я запускаю client.py (CLIENT_HOST='127.0.0.1', CLIENT_PORT=8000) и server.py (SERVER_HOST='', SERVER_PORT=8000) на одном компьютере, и все работает, как и ожидалось.

2. Я запускаю client.py (CLIENT_HOST='127.0.0.1', CLIENT_PORT=8000) на локальном компьютере и server.py (SERVER_HOST='', SERVER_PORT=8001) на удаленном компьютере. Затем я запускаю PuTTY и добавляю локальный туннель SSH с исходным портом 8000 и целевым 10.0.0.2:8001, и он работает, как и ожидалось.

3. Я запускаю client.py (CLIENT_HOST='127.0.0.1', CLIENT_PORT=8001) на удаленной машине и server.py (SERVER_HOST='', SERVER_PORT=8002) на локальной машине. Затем я запускаю PuTTY и добавляю удаленный SSH-туннель с исходным портом 8001 и целевым 127.0.0.1:8002, и он работает, как и ожидалось.

4. Однако, когда я запускаю client.py (CLIENT_HOST='127.0.0.1', CLIENT_PORT=8000) и server.py (SERVER_HOST='', SERVER_PORT=8002) на локальном компьютере и запускаю два PuTTY, один с локальным SSH туннель от исходного порта 8000 к целевому 10.0.0.2:8001 и один с удаленным туннелем SSH от исходного порта 8001 к целевому 127.0.0.1:8002, ничего не происходит.

Как я понимаю, сообщение от client.py должно быть отправлено на порт 8000 локальной машины, где PuTTY слушает и должно перенаправить его через SSH на порт 8001 удаленной машины, где PuTTY слушает и должен перенаправить его через SSH на локальный порт 8002 машины, откуда он должен добраться до server.py.

Что не так и как это исправить?

Спасибо.