Алгоритм многомерной оптимизации/поиска корней/что-то

На этот вопрос нет общего ответа. Решателя, находящего решение любого уравнения, не существует. Как уже сказал Лэнс Робертс, вы должны знать больше о функциях. Всего несколько примеров

• Если функции дважды дифференцируемы и вы можете вычислить первую производную, вы можете попробовать вариант Newton -Рафсон
• Взгляните на Метод множителя Лагранжа для реализации ограничения.
• Если функция F непрерывна (что, вероятно, так и есть, если это интерполянт), вы также можете попробовать метод деления пополам, который очень похож на бинарный поиск.

Прежде чем вы сможете решить проблему, вам действительно нужно больше узнать о функции, которую вы изучаете.

Как уже писали другие, нам нужна дополнительная информация о функциях. Однако, учитывая это, мы все еще можем попытаться решить следующую релаксацию с помощью стандартного набора инструментов нелинейного программирования.

min k
ст.
A + B + C + D + E = 1
F1(A) - k = 0
F2(B) - k = 0
F3(C) -k = 0
F4(D) - k = 0
F5(E) -k = 0

Теперь мы можем решить это любым способом, например методом штрафа.

min k + mu*sum(Fi(x_i) - k)^2 st
A+B+C+D+E = 1

или прямой метод SQP или внутренней точки.

Более подробная информация, и я могу помочь посоветовать хороший метод.

m

Все функции монотонно возрастают вместе со своим аргументом. Кроме того, они не могут быть охарактеризованы. Подход, который сработал, оказался следующим:

1) Начните с A = B = C = D = E = 1/5
2) Вычислите от F1(A) до F5(E) и пересчитайте от A до E так, чтобы каждая функция равнялась этой сумме, деленной на 5 ( среднее значение).
3) Измените масштаб новых значений от A до E, чтобы все они в сумме равнялись 1, и повторно вычислите от F1 до F5.
4) Повторяйте, пока не будет получено удовлетворительное решение.

Он сходится на удивление быстро — всего за несколько итераций. Конечно, каждая итерация требует 5 корневых находок для шага 2.

Одно решение уравнений

A + B + C + D + E = 1
F(A) = F(B) = F(C) = F(D) = F(E)

состоит в том, чтобы взять A, B, C, D и E равными 1/5. Хотя не уверен, что ты этого хочешь...

Добавлено после комментария Джона (спасибо!)

Предполагая, что второе уравнение должно читаться как F1(A) = F2(B) = F3(C) = F4(D) = F5(E), я бы использовал метод Ньютона-Рафсона (см. ответ Мартейна). Вы можете удалить одну переменную, установив E = 1 - A - B - C - D. На каждом шаге итерации вам нужно решить систему 4x4. Самая большая проблема, вероятно, заключается в том, с чего начать итерацию. Один из вариантов — начать со случайной точки, выполнить несколько итераций и, если вы ничего не добились, выбрать другую случайную точку и начать заново.

Имейте в виду, что если вы действительно ничего не знаете о функции, то решения не должно быть.

ALGENCAN (часть TANGO) действительно хорош. Также есть привязки к Python.

http://www.ime.usp.br/~egbirgin/tango/codes.php - "общее нелинейное программирование, которое вообще не использует манипуляции с матрицами и, таким образом, способно решать чрезвычайно большие задачи с умеренным компьютерным временем. Общий алгоритм имеет расширенный лагранжев тип..."

http://pypi.python.org/pypi/TANGO%20Project%20-%20ALGENCAN/1.0

Погуглите OPTIF9 или ALLUNC. Мы используем их для общей оптимизации.

Вы можете использовать стандартную технику поиска, как уже упоминалось. Есть несколько оптимизаций, которые вы могли бы использовать при поиске.

Прежде всего, вам нужно решить только A,B,C,D, потому что 1-E = A+B+C+D.

Во-вторых, у вас есть F(A) = F(B) = F(C) = F(D), тогда вы можете искать A. Как только вы получите F(A), вы можете решить B, C, D, если это возможно. Если не удается решить функции, вам нужно продолжить поиск каждой переменной, но теперь у вас есть ограниченный диапазон для поиска, потому что A+B+C+D ‹= 1.

Если ваш поиск является дискретным и конечным, приведенные выше оптимизации должны работать достаточно хорошо.

Я бы сначала попробовал Particle Swarm Optimization. Это очень легко реализовать и настроить. См. страницу Wiki для этого.