Скажем, у нас есть матрица 4x4 с такими индексами:
00 01 02 03
10 11 12 13
20 21 22 23
30 31 32 33
Как преобразовать данные вращения (игнорируя ось z, если это помогает), содержащиеся в этой матрице, в один двумерный угол поворота (в радианах)?
Предыстория: у меня есть 3D-анимация .dae, экспортированная из Blender в формат Collada. Анимация технически 2d, все значения оси z равны 0. Я пытаюсь преобразовать матрицы 4x4 в 2d данные перемещения, поворота и масштабирования.
Матрица масштабов S выглядит так:
sx 0 0 0
0 sy 0 0
0 0 sz 0
0 0 0 1
Матрица перевода T выглядит так:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
tx ty tz 1
Матрица вращения оси Z R выглядит так:
cos(a) sin(a) 0 0
-sin(a) cos(a) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Если у вас есть матрица преобразования M, это результат ряда умножений матриц R, T и S. Глядя на M, порядок и количество этих умножений неизвестны. Однако, если мы предположим, что M=S*R*T, мы можем разложить его на отдельные матрицы. Сначала посчитаем S*R*T:
( sx*cos(a) sx*sin(a) 0 0) (m11 m12 m13 m14)
S*R*T = (-sy*sin(a) sy*cos(a) 0 0) = M = (m21 m22 m23 m24)
( 0 0 sz 0) (m31 m32 m33 m34)
( tx ty tz 1) (m41 m42 m43 m44)
Поскольку мы знаем, что это двухмерное преобразование, получить перевод очень просто:
translation = vector2D(tx, ty) = vector2D(m41, m42)
Чтобы рассчитать поворот и масштаб, мы можем использовать sin(a)^2+cos(a)^2=1:
(m11 / sx)^2 + (m12 / sx)^2 = 1
(m21 / sy)^2 + (m22 / sy)^2 = 1
m11^2 + m12^2 = sx^2
m21^2 + m22^2 = sy^2
sx = sqrt(m11^2 + m12^2)
sy = sqrt(m21^2 + m22^2)
scale = vector2D(sx, sy)
rotation_angle = atan2(sx*m22, sy*m12)
acos, поскольку игнорирует знак поворота. Лучше использовать a=atan2(sx*m22,sy*m12) или a=atan2(-sy*m11,sx*m21). {Я использую atan2(dx,dy), но некоторые системы определяют его как atan2(dy,dx), так что будьте осторожны}.
- person John Alexiou; 17.05.2012
в этой библиотеке есть процедуры для преобразования матрицы 4x4 в ее 5 компоненты - вращение, перемещение, масштаб, сдвиг и перспектива. Вы должны иметь возможность взять формулы и просто отбросить 3-й компонент трехмерных векторов.
