Это один из самых фундаментальных вопросов, с которым сталкивается любой учащийся в своем путешествии по познанию мира через призму математики (единственную разумную линзу?).
Мне просто пришло в голову, что способ, которым обычно определяются эти термины, может отображать несколько иную точку зрения, чем они есть на самом деле.
Чаще всего я встречал термины скаляры и векторы, определяемые следующим образом.
Скаляр. Скаляр — это величина, которая имеет только величину (размер).
Вектор. Вектор — это величина, которая имеет как величину (размер), так и направление.
Например, при поиске в Интернете слов «скаляр против вектора» первые три веб-сайта в результатах поиска определяют их, как показано ниже.
Все это отличные определения для развития интуиции. Однако, чтобы развить математически строгую точку зрения, необходимы некоторые усилия для понимания точности этих терминов.
Аналогии типа «величина против величины и направления» играют важную роль в процессе понимания этих понятий и того, зачем они нам нужны. Для более глубокого понимания, помимо этих аналогий, важно видеть скаляры и векторы такими, какие они есть — вне системы отсчета, которую мы обычно видим. Например, рассмотрим следующие определения:
Скаляр: число, обычно действительное.
Вектор: набор чисел, обычно действительных.
Векторы — это не что иное, как набор скаляров. Вот и все! Если мы посмотрим на них такими, какие они есть, они больше не кажутся слишком отличными друг от друга.
Это может помочь подумать над такими вопросами, как:
- Что вообще такое направление?
- Почему скаляры не имеют направления?
- Почему векторы имеют направление? Должны ли векторы иметь направление?
- По отношению к каким векторам есть свойство, называемое направлением?
Я чувствую, что такие метаслова, как «направление», могут немного исказить представление и заставить эти термины выглядеть более отличными, чем друг от друга. Математическая картина мира состоит только из чисел и некоторых операторов. Даже направление измеряется в цифрах.
Направление — это еще один способ описать аспект отношений между двумя наборами чисел (векторами). Он неявно делает некоторые молчаливые предположения, например,
- Порядок чисел имеет некоторое значение, и
- Предполагается, что одна и та же система отсчета представляет два вектора.
Но когда мы говорим о цифрах, а не о наборе цифр, мы не делаем никаких невысказанных предположений, поэтому это меньше подвержено неправильному истолкованию. Такое упрощение представления является более точным и столь же полезным, как и обычно обсуждаемое представление.
