- Приблизительная самосборка треугольника Серпинского (arXiv)
Автор: Джек Х. Лутц, Брэд Шаттерс.
Аннотация: Мозаичная модель сборки — это универсальная модель Тьюринга, которую Уинфри представила для изучения наномасштабной самосборки сложных (обычно апериодических) кристаллов ДНК. Уинфри продемонстрировал самосборку, которая замостила первый квадрант декартовой плоскости плитками со специальными метками, появляющимися точно в точках треугольника Серпинского. Совсем недавно Латроп, Лутц и Саммерс доказали, что треугольник Серпинского не может самособираться в «строгом» смысле, в котором плитки не могут появляться вне целевой структуры. Здесь мы исследуем строгую самосборку множеств, аппроксимирующих треугольник Серпинского. Мы показываем, что каждое множество, которое строго самособирается, не согласуется с треугольником Серпинского на множестве с фрактальной размерностью, по крайней мере, фрактальной размерности треугольника Серпинского (примерно 1,585), и что никакое подмножество треугольника Серпинского с фрактальной размерностью больше 1 строго самособирается. Мы показываем, что наши границы точны, даже если они ограничены надмножествами треугольника Серпинского, представляя строгую самосборку, которая добавляет коммуникационные волокна к фрактальной структуре, не нарушая ее. Для проверки этой строгой самосборки мы развиваем обобщение метода локального детерминизма Соловейчика и Уинфри.
2. Строгая самосборка дискретных треугольников Серпинского (arXiv)
Автор: Джеймс И. Латроп, Джек Х. Лутц, Скотт М. Саммерс.
Аннотация: Уинфри (1998) показал, что дискретные треугольники Серпинского могут самособираться в модели сборки плитки. Поразительная молекулярная реализация этой самосборки с использованием плиток ДНК длиной в несколько нанометров и проверкой результатов с помощью атомно-силовой микроскопии была достигнута Ротемундом, Пападакисом и Уинфри (2004). Точнее говоря, приведенные выше самосборки представляют собой плитки, полностью заполненные двумерными областями плоскости, с помеченными подмножествами этих плиток, представляющими дискретные треугольники Серпинского. В этой статье рассматривается более сложная проблема строгой самосборки дискретных треугольников Серпинского, т. е. задача замощения дискретного треугольника Серпинского и ничего больше. Сначала мы докажем, что стандартный дискретный треугольник Серпинского не может строго самособираться в Мозаичной Сборочной Модели. Затем мы определяем расслоенный треугольник Серпинского, дискретный треугольник Серпинского с той же фрактальной размерностью, что и стандартный треугольник, но с тонкими волокнами, которые могут нести данные, и показываем, что расслоенный треугольник Серпинского строго самособирается в модели сборки плитки. В отличие от простого XOR-алгоритма более ранней нестрогой самосборки, наш строгий алгоритм самосборки широко рекурсивно использует оптимальные счетчики в сочетании с измеренной задержкой и операциями поворота угла. Мы проверяем нашу строгую самосборку, используя метод локального детерминизма Соловейчика и Уинфри (2007).
