Пусть E(x) будет математическим ожиданием игры при условии, что последний выпал, т. е.

Скажем, у вас есть n-гранный кубик. Вы продолжаете кидать и суммировать значения до тех пор, пока текущий бросок больше, чем предыдущий. Например, если n = 6, вы можете выбросить 1, 3, 2 и остановиться или 1, 4, 5, 3 и остановиться. В первом случае ваша общая сумма равна 1 + 3 = 4, а во втором случае ваша общая сумма равна 1 + 4 + 5 = 10. Каково ожидаемое значение суммы?

Пусть E(x) будет ожидаемым значением игры при условии, что последним выпало, т. е. максимальный бросок был x.
E(n) = 0 [Поскольку ни одно число не больше n, поэтому, игра заканчивается]
E(n-1) = 1/n*(E(n) + n)
E(n-2) = 1/n*(E(n-1) + n-1) + 1/n*(E(n) + n) и так далее…
E(n-1) = 1
E(n-2) = 2

E(n-3) = 3

поэтому E(1) = n-1
и E(0) = n. [Ожидаемая ценность игры с нулевым броском]

Давайте проверим с помощью небольшой симуляции в Python:

import random
n_dice = 10
n_trials = 10000
mega = 0

for _ in range(n_trials):
  last = None
  while True:
   curr = random.randint(1,n_dice)
   if last is None or curr > last:
     mega+= curr
     last = curr
   else:
     break
print(mega/n_trials) #9.9x for n_dice = 10

И вот наша проверка :)