Оглавление

1. Аннотация
2. Понимание точечного продукта | Скалярные проекции
3. Единичные векторы
4. Векторные проекции
5. Упражнение
6. Заключение
7. Дополнительная литература »
8. Подключим

Абстрактный

Понимание скалярного произведения и сути векторных проекций является важной темой в различных областях. Его приложения охватывают машинное обучение, обработку сигналов, обработку изображений, физику, бизнес и многое другое. В этой статье мы попытаемся просто объяснить скалярное произведение и векторные проекции с помощью четких объяснений и информативных примеров.

Случаи использования

Скалярный продукт играет важную роль в физике, робототехнике, компьютерной графике, машинном обучении, обработке сигналов, географии, экономике и многом другом.

Информатика
Скалярный продукт можно рассматривать как меру сходства. Например, в системах рекомендаций мы можем использовать скалярное произведение для измерения сходства между двумя векторами, представляющими предпочтения пользователей в отношении фильмов. Точно так же в классификации текста скалярное произведение помогает оценить сходство между двумя документами. Кроме того, при распознавании изображений скалярное произведение может использоваться при распознавании изображений в сочетании с измерением евклидова расстояния между векторами для измерения сходства между двумя изображениями.

Бизнес
В деловом мире скалярное произведение можно использовать для расчета взвешенной суммы различных факторов, что позволяет принимать более эффективные решения в таких областях, как инвестиции и распределение ресурсов. Конкретным примером может служить оптимизация портфеля, где эта концепция может использоваться для определения взвешенной доходности различных активов в портфеле. Основываясь на своих инвестиционных целях и допустимости риска, инвесторы могут сравнить эти взвешенные доходы, чтобы определить, как лучше всего распределить свои активы, чтобы минимизировать риск и максимизировать прибыль.

Понимание скалярного продукта | Скалярные проекции

Понимание скалярного произведения является необходимым условием для понимания векторных проекций, поскольку оно является основным компонентом, используемым при их расчете.

Чтобы понять это, может быть, имеет больше смысла думать об этом с точки зрения физики, чем с точки зрения математики и алгебры.

В физике скалярное произведение (также известное как скалярное произведение) может использоваться для расчета работы, совершаемой силой над объектом. Давайте на мгновение забудем о скалярном произведении и рассмотрим базовый сценарий.

Предположим, у нас есть движущийся объект O, притягиваемый вектором силы F параллельно вектору смещения (d) /вдоль направления движущегося объекта/

Поскольку векторы силы F и d направлены в одном направлении, мы можем использовать формулу работы W=Fd для расчета общего объема работы. Если величина F=3 и величина d=6, то работа будет W=Fd=6*3=18.

Все хорошо, но теперь давайте рассмотрим другой сценарий, когда угол между вектором тяговой силы F и вектором смещения d составляет 60 градусов, что означает, что вектор F не работает на 100% в пользу направления вектора d.

Здесь мы не можем использовать формулу W=Fd, потому что эта формула предполагает, что сила и перемещение движутся параллельно. В таких случаях нам нужно найти проекцию F на d (величину вектора, который работает в том же направлении, что и наш вектор смещения).

Для этого мы можем опустить воображаемую линию из F в D, образуя прямоугольный треугольник, и использовать базовую тригонометрию. Используя формулу косинуса, мы можем найти величину projFd:

cos(θ) = Adjacent/Hypotenuse
cos(θ) = ProjFd/F (умножить обе части на F)
ProjFd = cos(θ)*F👈

Обобщенный, comp_B(A)=|A|*cos(0) . `

Теперь, поскольку у нас есть величины (размеры) двух векторов (ProjFd и d), указывающих в одном направлении, мы можем снова использовать формулу работы и выяснить, что:

W = Fd или
W = |F|*cos(θ)*dили
W = |3|*cos(60deg)*6=6*3*1/2=9

Мы можем проверить, что по сравнению с предыдущим примером общая работа уменьшилась с 18 до 9.

И сами того не заметив, мы придумали формулу скалярного произведения (также известную как скалярное произведение):

A.B = |A|.|B|.cos(θ): скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними.

Теперь также важно отметить, что мы сосредоточились на геометрической интерпретации для объяснения скалярного произведения, однако скалярное произведение также можно вычислить с использованием алгебраического или покомпонентного представления, что особенно полезно для вычислений (таких как те, что упоминается в прецедентах информатики в реферате):

A · B = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3: скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих компонентов.

Оба представления являются эквивалентными способами вычисления скалярного произведения и дают один и тот же результат. Геометрическая интерпретация помогает понять физический смысл и свойства скалярного произведения, в то время как алгебраическое представление упрощает расчеты и облегчает работу с математическими выражениями и выражениями CS. Обе формулы неразрывно связаны. Покомпонентная формула для скалярного произведения может быть получена из геометрической формулы с использованием свойств векторных проекций и тригонометрии.

📍 Теперь мы можем просто понять свойства скалярного произведения:

(Подробное объяснение или вывод этих свойств см. в разделе Скалярный продукт курса Линейная алгебра Академии Хана или, что еще лучше, попробуйте доказать их самостоятельно, используя знания, полученные к этому моменту)

1. Для ортогональных векторов (когда θ равно 90 градусам) скалярное произведение всегда равно 0, поскольку cos(θ) = 0. Векторы указывают в разных направлениях (не работают друг на друга).

2. Для параллельных векторов (пример 1) скалярное произведение равно произведению величин двух векторов (A.B=A.B), поскольку cos(0)=1.

3. Скалярное произведение является дистрибутивным по сравнению с векторным сложением: A.(B+C)=A.B+A.C

4. Скалярное произведение совместимо со скалярным умножением: (kA).B=k(A.B)=A.(kB)

5. Скалярное произведение является коммутативным (порядок не имеет значения), что означает, что A.B=B.A

6. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его величины: A.A=|A|^2

7. Скалярное произведение можно использовать для вычисления косинуса угла между двумя векторами: cos(0)=(A.B)/|A|.|B| (подобие косинуса). Это полезно для измерения сходства или различия в направлении между двумя векторами, независимо от их величины.

Эти свойства необходимы для различных приложений в математике, физике и технике.

Единичные векторы

Прежде чем перейти к векторным проекциям, полезно вспомнить, что такое единичный вектор. Единичный вектор — это вектор, величина (длина) которого равна 1, но при этом сохраняется исходное направление вектора. Это особенно полезно, потому что позволяет нам работать с векторами, не завися от их длины. Единичные векторы обычно обозначаются шляпой (^), поэтому, если у нас есть вектор u, его соответствующий единичный вектор будет û.

Предположим, мы находимся в двумерном пространстве и у нас есть вектор с компонентами (i1,j1). Чтобы найти его единичный вектор, нам нужно разделить компоненты вектора на его величину:

Однако прежде чем что-либо умножать, нам нужно найти величину вектора. Для этого мы можем использовать формулу для нахождения величины в 2D-пространстве, а именно:

||а|| = квадрат (a1²+a2²)

Предположим, что наш вектор равен a, в нашем конкретном примере величина будет:

||а|| = кврт(i1²+j1²)

Если мы предположим, что i1 = 3 и j1 = 4, это будет:

||а|| = квадрат(3²+4²) = квадрат(25) = 5

Теперь мы можем получить единичный вектор, разделив компоненты вектора на их величину:

â = (i1/||a||, j1/||a||)
â = (3/5, 4/5)

Мы можем просто доказать, что его величина равна 1, найдя его:

||а|| = sqrt((3/5)²+(4/5)²) = sqrt(9/25+16/25) = 1

Векторные проекции

Векторы имеют две компоненты: величина и направление.Когда мы изучали скалярные проекции, мы узнали, как найти величину проецируемого вектора. , для вектора A на B это былоprojAb=|a|*cos(0) . С другой стороны, однако, это не дает нам ничего, кроме числа.

Чтобы найти фактический вектор, нам нужно найти компоненты прогнозируемого вектора projAb. Поскольку мы уже знаем, что векторы указывают в одном направлении, мы можем просто найти единичный вектор B и умножить его на компоненты ProjAb, чтобы получить компоненты спроецированного вектора.

Перепишите формулу прогноза, используя скалярное произведение

Прежде чем перейти к вычислению векторных проекций, мы можем быстро найти кое-что из формулы точек (вкратце объясним, почему). Если мы возьмем точечную формулу и разделим обе части на |B| получаем следующее:

› A.B = |A|.|B|.cos(θ) (до)

› А.Б / |В| = |A|cos(θ) (После)

Если мы снова посмотрим на нашу формулу скалярной проекции из предыдущего, то обнаружим, что projAb=|A|cos(0) также равно левому уравнению сверху, а это означает, что проекция также может быть найдена путем нахождения A.B/|B|. Это особенно полезно, поскольку чаще всего нам даются компоненты векторов, а не угол между ними. Зная компоненты векторов, мы можем воспользоваться алгебраическим вычислением точечной формулы.

Расчет векторной проекции

Теперь, когда мы знаем все обо всем, мы можем вычислить векторную проекцию A на B. Предположим, что мы находимся в двумерном пространстве и имеем 2 вектора с координатами A(i1,j1) и B(i2,j2).

Чтобы найти векторную проекцию, мы можем:

  1. Найдите скалярное произведение двух векторов:

A.B = i1*i2+j1*j2 (алгебраическое представление)

2. Вычислить модуль вектора B:

|Б| = квт(i2²+j2²)

3. Найдите единичный вектор B̂:

B̂ = i2/|B|, j2/|B|

4. Вычислите скалярную проекцию A на B:

projAb = A.B / |B|

5. Умножьте скалярную проекцию на единичный вектор, чтобы найти векторную проекцию A на B:

vectorProj = (A.B/|B|)*i2, (A.B/|B|*j2)

Упражнение.

Предположим, что (i1,j1) = (3,4) и (i2,j2)=(6,3). Найдите векторную проекцию

…

🤔 Вы оказались где-то между (4,2)?

Заключение

Таким образом, эта статья пролила свет на скалярное произведение и векторные проекции, подчеркнув их широкое применение в различных областях. Мы обсудили их роль в информатике и бизнесе, а также изучили точечный продукт, единичные векторы и векторные проекции. Ждите нашей следующей статьи, в которой мы углубимся в косинусное сходство и продемонстрируем, как мы можем использовать скалярное произведение для определения сходства между двумя изображениями. сильный> с кодом.

Дополнительное чтение

Вот тщательно отобранный список ресурсов, которые помогли написать эту статью, а также те, которые могут помочь вам глубже изучить тему.

Давайте подключимся

Связи имеют решающее значение, поскольку они способствуют сотрудничеству и обмену знаниями, а также открывают новые возможности. Рад поговорить или помочь любому, кто связывается со мной :). Нажмите здесь, чтобы получить доступ к моему LinkedIn.