- Вырожденные уравнения Шредингера с нерегулярными потенциалами (arXiv)
Автор: Дуван Кардона, Марианна Хацаку, Хулио Дельгадо, Майкл Ружанский.
Аннотация: В этой работе исследуется класс вырождающихся уравнений Шредингера, связанных с вырождающимися эллиптическими операторами с нерегулярными потенциалами на $\Ran$ путем введения подходящей хёрмандеровской метрики g и g-веса m. Установлена корректность соответствующих вырождающихся уравнений Шредингера и вырождающихся параболических уравнений. Когда субэллитичность доступна для вырожденного эллиптического оператора, мы выводим спектральные свойства для класса вырожденных гамильтонианов. Мы также изучаем свойства Lp-отображений для операторов с символами из классов S(m−β,g) в духе классических Lp-оценок Феффермана для (ρ,δ)-исчисления. Наконец, в рамках наших S(m,g)-классов также исследуются точные Lp-оценки и свойства Шаттена для операторов Шрёдингера для сумм квадратов Хёрмандера.
2. Границы долговременной погрешности низкорегулярных интеграторов для нелинейных уравнений Шредингера (arXiv)
Автор: Юэ Фэн, Георг Майерхофер, Катарина Шрац.
Аннотация: Мы вводим новый нерезонансный интегратор с низкой регулярностью для кубического нелинейного уравнения Шредингера (НУШ), позволяющий получать оценки долговременных ошибок, оптимальные в смысле лежащего в их основе УЧП. Основная идея при этом состоит в том, чтобы рассматривать нулевую моду точно в рамках дискретизации. Для оценок долговременной ошибки мы строго устанавливаем границы долговременной ошибки различных интеграторов с низкой регулярностью для нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) с малыми начальными данными, характеризуемыми безразмерным параметром ε∈(0,1]. Начнем с низкорегулярный интегратор для квадратичного НУШ, в котором интеграл вычисляется точно, а улучшенная равномерная сходимость первого порядка по Hr доказана при O(ετ) для решений в Hr с r>1/2 до момента времени Tε=T /ε с фиксированным T > 0. Затем улучшенная граница равномерной долговременной погрешности распространяется на симметричный малорегулярный интегратор второго порядка в долговременном режиме.Для кубического NLSE мы разрабатываем новый нерезонансный первый порядок и симметричные интеграторы второго порядка с низкой регулярностью, которые точно обрабатывают нулевую моду и строго выполняют анализ ошибок до момента времени Tε = T / ε 2. С помощью метода колебаний с компенсацией регулярности (RCO) улучшенная равномерная ошибка установлены границы для новых нерезонансных схем с низкой регулярностью, которые дополнительно уменьшают долговременную ошибку в ε2 раз по сравнению с классическими интеграторами с низкой регулярностью для кубического НУШ. Численные примеры представлены для проверки оценок ошибок и сравнения с классическими методами разделения времени в долговременном моделировании.
