- Разложение по сингулярным числам и энтропийная размерность фракталов (arXiv)
Автор: Xiaojing Weng, Altai Perry, Michael Maroun, Luat T. Vuong.
Аннотация: Мы анализируем разложение по сингулярным числам (SVD) и SVD-энтропию канторовских фракталов, порожденных произведением Кронекера. Наши первичные результаты показывают, что энтропия SVD является мерой «размерности сложности» изображения, которая инвариантна относительно количества самоповторений произведения Кронекера (т. е. фрактального порядка). Таким образом, энтропия SVD аналогична размерности фрактальной хаусдорфовой сложности, но подходит для описания фрактальных волновых явлений. Наша нормализация на основе поля (энтропийный индекс Реньи = 1) иллюстрирует необычные ступенчатые и кластерные распределения фрактальных сингулярных значений и их энтропии SVD. В качестве модальной меры сложности энтропия SVD используется для различных приложений беспроводной связи, оптических приложений в свободном пространстве и дистанционного зондирования.
2. SVD-PINN: передача обучения физико-информированных нейронных сетей с помощью разложения по сингулярным значениям (arXiv)
Автор: Ихан Гао, Ка Чун Чунг, Майкл К. Нг.
Аннотация: В последние годы физико-информированные нейронные сети (PINN) привлекли значительное внимание для решения дифференциальных уравнений в частных производных (PDE), потому что они уменьшают проклятие размерности, которое появляется в традиционных методах. Однако самым большим недостатком PINN является то, что одна нейронная сеть соответствует одному PDE. На практике нам обычно нужно решить класс УЧП, а не только один. С взрывным ростом глубокого обучения многие полезные методы в общих задачах глубокого обучения также подходят для PINN. Методы трансферного обучения могут снизить стоимость PINN при решении класса PDE. В этой статье мы предложили метод трансферного обучения PINN путем сохранения сингулярных векторов и оптимизации сингулярных значений (а именно SVD-PINN). Численные эксперименты с УЧП высокой размерности (10-мерные линейные параболические уравнения и 10-мерные уравнения Аллена-Кана) показывают, что SVD-PINN работают для решения класса УЧП с разными, но близкими правыми функциями.
