используя исключение, форму эшелона строки и ранг

Эта история суммирует мои заметки, основанные на концепциях и методах второй недели курса deeplearning.ai Линейная алгебра для машинного обучения и науки о данных Луиса Серрано. Кроме того, я включил другие определения и иллюстрации из других ресурсов. Вы можете просмотреть историю Система линейных уравнений для связанных понятий и определений.

Решенная система линейных уравнений проще исходной, потому что каждое уравнение сообщает нам значения переменных. Процессы манипулирования уравнениями включают: замену уравнений (строк в матрицах), добавление уравнений и замену одного из оригиналов на результат сложения, а также умножение. strong> любое уравнение на ненулевое число.

Операции со строками сохраняют сингулярность матрицы. Вычисление определителя после перестановки строки сохраняет сингулярность или несингулярность с отрицательным исходным значением . Однако при умножении строки на скаляр значение определителя умножается на используемое скалярное значение. Кроме того, сложение двух строк вместе и размещение их в любой из них сохранит определитель одинаковым!

Метод устранения

  • Нормализуйте первый столбец матрицы: разделите каждую строку на первый переменный коэффициент, чтобы все коэффициенты первого столбца были равны 1.
  • Вычтите первую строку из остальных строк, чтобы изолировать первую переменную в первой строке.
  • Продолжайте со второй строки во втором столбце для второй переменной и так далее, пока не будет найдено значение последней переменной.
  • Распространяйтесь по диагонали в верхний левый угол, заменяя значение последнего значения переменной в предыдущей строке, пока не найдете значение первой переменной в месте [строка = 0, столбец = 0].

Сокращение строк матрицы (исключение Гаусса)

Это упрощает матрицу для извлечения полезной информации, используя только матрицу коэффициентов переменных. После использования метода исключения для упрощения матрицы форма матрицы с единицами на главной диагонали и нулями под диагональю называется промежуточной системой или верхней диагональной матрицей (эшелонированная форма строк). Когда все значения матрицы равны нулю с единицами на главной диагонали, это называется решаемой системой или диагональной матрицей (форма с уменьшенным эшелоном строк). Любое число выше опорных (1) должно быть равно нулю в RREF.

Эшелонная форма рядов

На главной диагонали в этой форме должны быть 1 и/или 0. Ниже главной диагонали все равно нулю. Справа от 1 допускается любое число; однако справа от нулей все должно быть равно нулю.

Ранг матрицы

Это понятие измеряет, сколько информации несет матрица или соответствующая ей система линейных уравнений. Сжатие изображений в машинном обучении — отличное применение ранга матрицы,мощный метод разложения по сингулярным значениям. Чем ниже ранг изображения, тем меньший размер оно занимает. Однако очень низкие ранги в изображении теряют качество изображения.

Каждая часть информации в строках матрицы дает ранговое значение 1. Ранг системы и ее пространство решений называется множеством множества решений системы уравнений, когда константы равны нулю. . Несингулярная матрица имеет полный ранг, ранг равен количеству строк. Другими словами, матрица несет максимально возможное количество информации.

Используя эшелонированную форму строки, номер ранга представляет собой количество единиц на главной диагонали. Если это уменьшенная эшелонная форма строки,это несигулярная матрица полного ранга.

Последнее примечание

Это отличная практика — применять метод сокращения строк матрицы при ее кодировании с использованием библиотеки python NumPy и ее функций линейной алгебры.

Продолжай учиться!