Иногда кажется, что интуиция, которая у нас есть в двух измерениях, автоматически переносится на 3, 4, n измерений. Бывают случаи, когда это не так, как я покажу далее.

Но сначала нам нужно начать с основ:

Как вычислить диагональ прямоугольника, длина стороны которого равна 1 единице, на самом деле довольно просто, так как мы можем использовать результат теоремы Питагора для решения такой задачи.

h² = a² + b² = 1 + 1 = 2

В 3-х измерениях это будет диагональ куба

для этого нам нужно применить результаты теоремы 2 раза сначала в прямоугольнике внизу, затем в плоскости с x=0

h1² = a²+ b²

h1 = √(a²+b²)

Затем:

h2² = h1² + c² = √(a²+b²)² + c² = a² + b² + c² = 1 + 1 + 1 = 3 = n

h2 = √3

Это можно обобщить на n измерений следующим образом: h = √n

Теперь мы можем сформулировать случай:

Давая квадрат, длина которого составляет 2 единицы длины, разделенный на 4 квадрата, в каждом квадрате 1 на 1 есть круг. Между этими 4 кругами есть еще один круг, радиус которого составляет √2–1 примерно 0,4142135.

Это радиус круга внутри квадрата минус диагональ, которая в двух измерениях для квадрата 1 на 1 равна √2.

И вот когда становится интересно:

Что произойдет в 3-х измерениях? Не торопись...

Теперь радиус сферы в центре равен √3–1 = 0,732050.

А когда n = 20, результат будет: √20–1 = 3,47 > 2, что больше сторон куба в n измерениях!

Как это произошло? Можно было бы предположить, что связь между внутренним кругом и остальными 4 сохранится по мере увеличения размеров, но это совсем не так!

Обычно мы мало думаем при моделировании сложных проблем в n измерениях и просто добавляем еще одно или увеличиваем представление, поскольку нам кажется, что оно ограничено ограничениями ресурсов, поскольку считается, что большее количество измерений имеет лучшее представление и, следовательно, лучшую производительность, пока точка не подходит. Но в таком случае пространство решений может сместиться до точки, где решение находится за пределами пространства, которое, как мы думаем, было до моделирования проблемы, и, таким образом, теперь, когда мы увеличили размеры, оно никогда не будет найдено, или мы получим какие-то странные метрики. .