Основы

  1. Теорема Борсука — Улама для циклических p-групп(arXiv)

Автор: М. К. Крэбб

Аннотация: описана коннективная K-теория Борсука — Улама/Бургина — теорема Янга для циклических групп порядка степени простого числа p. Рассмотрим два конечномерных комплексных представления U и V циклической группы Z/pk+1 порядка pk+1, где k李0. Для 0≤l≤k мы обозначаем через Vl подпространство в V, фиксированное циклической подгруппой порядка pl, и требуем, чтобы фиксированное подпространство Vk+1 было нулем и чтобы Vk было ненулевым. Положим δ(V)=∑kl=0pldimC(Vl/Vl+1)−(pk−1). Тогда множество нулей любого Z/pk+1-отображения S(U)→V из единичной сферы в U (для некоторого инвариантного скалярного произведения) имеет размерность покрытия, большую или равную 2(dimCU−δ(V)− 1), если dimCU›δ(V).

2.Свободные циклические действия на поверхностях и теорема Борсука-Улама(arXiv)

Автор:aciberg Lima Goncalves, John Guaschi, Vinicius Casteluber Laass

Аннотация: Пусть M и N — топологические пространства, пусть G — группа, и пусть τ: G×M→M — собственное свободное действие группы G. В этой статье мы определяем свойство -типа для гомотопических классов отображений из M в N относительно пары (G,τ), которое обобщает классическую антиподальную теорему Борсука–Улама об отображениях из n-сферы Sn в Rn. В случаях, когда M — конечный линейно-связный CW-комплекс, G — конечная нетривиальная абелева группа, τ — собственное свободное клеточное действие, а N — либо R2, либо компактная поверхность без края, отличная от S2 и RP2 , мы даем алгебраический критерий, включающий группы кос, чтобы определить, обладает ли свободный гомотопический класс β∈[M,N] свойством Борсука-Улама. В качестве применения этого критерия рассмотрим случай, когда M — компактная поверхность без края, снабженная свободным действием τ конечной циклической группы Zn. В терминах ориентируемости пространства орбит Mτ множества M действием τ, значения n по модулю 4 и некоторого алгебраического условия, включающего первую группу гомологий Mτ, мы можем определить, является ли единственный гомотопический класс отображений из M к R2 обладает свойством Борсука-Улама относительно (Zn,τ). Наконец, мы приводим несколько примеров поверхностей, на которых действует симметрическая группа, и для этих случаев мы получаем некоторые частичные результаты о свойстве Борсука-Улама для отображений, целью которых является R

3.Теорема Борсука-Улама для пространств плоских многоугольников(arXiv)

Автор: Навнат Даундкар, Прияврат Дешпанде, Шучита Гоял, Анураг Сингх

Аннотация:: Пространство модулей плоских многоугольников с общими длинами сторон представляет собой замкнутое гладкое многообразие. Отображение многоугольника в его отраженное изображение по оси X определяет инволюцию без фиксированных точек на этих пространствах модулей, превращая их в свободные Z2-пространства. Есть некоторые важные числовые параметры, связанные со свободными Z2-пространствами, такие как index и coindex. В этой статье мы вычисляем эти параметры для некоторых пространств модулей многоугольников. Мы также определяем, для какого из этих пространств справедлива обобщенная версия теоремы Борсука-Улама. Кроме того, мы получаем формулу высоты Штифеля-Уитни в терминах генетического кода, комбинаторных данных, связанных с длинами сторон