Но подождите, есть еще! — Кубические корни через квартики

Еще один шанс получить кубические корни путем обновления до Quartic — на этот раз с использованием Quadratics

В предыдущем сообщении Поиск кубических корней с помощью гибридов квартиков я показал, как находить кубические корни, повышая порядок до квартиков, а затем используя удивительные архитектурные симметрии квартиков в том, что я называю гибридными Большая W генетика. В этом посте я использую еще более глубокую генетическую позицию, призывая Большую М вместе с лежащими в основе Квадратичными произведениями каждой Квартики, чтобы предложить интуитивное приближение корней.

В то время как обновление полностью избегает использования кубического уравнения и делает это правильно с первого раза без итераций, этот пост, как и его предшественник, больше посвящен творчеству и пониманию архитектуры, чтобы студенты могли лучше «разрабатывать свои собственные» полиномы во многих областях деятельности. .

Этот пост предполагает математику на уровне средней школы. Как всегда, я надеюсь, что это побуждает думать о математике более графически!

Преамбула

Сохранение формы

Поскольку функции Quartic сохраняют свою форму в сетке X-Y при смещении по оси X, мы можем исключить член Bx³, тем самым уменьшив созданную Quartic до y=Ax⁴+Cx²+Dx+E . Этоупростит анализ с математической точки зрения и просто потребует корректировки корневых результатов до исходной точки. Для краткого изложения вы можете обратиться к моему предыдущему сообщению Пониженные полиномы четвертой степени — упрощенная математика перевода.

Большой W (обозначен зеленым ниже) – это общая гибридная функция y=x⁴+Cx²+E компании Quartics. Он симметричен относительно оси Y, т. е. с перегибом уровня Ip(y) и точками поворота Tp(y).

Большая M (показана красным) – это общая гибридная функция y=-3x⁴-Cx²+E,которая отслеживает Tps всех функций с различными xКоэффициентами D, представленными в Многочленах четвертой степени С заданными поворотными точками с помощью BIG M».

Примечание: в этом посте для простоты мы используем коэффициент Ax⁴ A=1, так как он не меняется. корни или координаты x точек перегиба и точек поворота.

Cubic to Quartic (резюме предыдущего поста)

Рассмотрим следующий кубический многочлен y=x³+6x²-3x-20, показанный синим цветом на графике 2 ниже. Наша цель — найти его корни R1, R2 и R3.

Во-первых, мы конвертируем кубическое значение в квартическое путем умножения на x, создавая квартик;

y=(x³+6x²-3x-20)(x)=x⁴+6x³-3x²-20xпоказано черным цветом.

Примечание. Мы можем выбрать любой фактор, например (x-1), но это требует проверки того, что это еще не фактор Кубика, и усложняет транспонирование для поиска сокращенной функции. Приx= 0из постоянного членаE=-20 сразу видно, что это не корень!

Этот производный Quartic y=x⁴+6x³-3x²-20xимеет 1 корень Rq в >x=0 и имеет общие3корня R1, R2 и R3 с Cubic.

Уменьшение четверти

Далее, чтобы упростить математику, мы уменьшаем квартику, сдвигая ее по оси X. Корни переименовываются в R1', R2', R3' и Rq'.

Результирующая квартика y=x⁴-16,5x²+6x+23,06показана на диаграмме 3 с точками перегибаXip одинаково охватывающих ось Y с известным корнемRq', сдвинутым на x=1,5.

Преобразование в квадратичную форму с помощью Big M

Затем настройте Quartic y=x⁴-16,5x²+6+23,06 как произведение двух квадратичных функций y=x²+mx+c и y=x²-mx+23.06/c с соответствующими совпадающими корнямиR1', R2'и Rq',R3', как показано на графике 4.

Эти 2 квадратичные функции с их экстремумами I(x)=-2,56 и H(x)=+2,56 будучинеизвестными.

Однако существует очень тесная связь между экстремумами и общими большими Ms' очень просто рассчитанными корнямиRa=(-2,58, 0) и Rb=(+2,58).Можно показать, что эта проксимальная зависимость сохраняется для очень широкого диапазона значения коэффициента x D.

Следовательно, используя известный корень Rq'(1.5, 0)изаменяя Ra и Rb для фактических экстремумов I(x)=-2,56 и H(x)=+2,56 определите квадратичный y=x²+mx+c следующим образом:

пусть y=x²+mx+c=1.5²-2*2.58*1.5+c=0из чего c=5.49,отсюда:

y=x²-5,16x+5,49. Поскольку сумма корней =-m=5.16;

R3'=5,16–1,5=3,66, что выгодно отличается от фактического 3,62.

Примечание: зная примерную концентричность корня Rb с Rq' и R3' в будущем мы можем просто действовать таким образом; R3'=2*Rb-1,5=3,66.

p.s. Не забудьте настроить эти 2 корня для исходного горизонтального смещения x=1,5. Следовательно:

Rq=0иR3=2,16

Вычислить оставшиеся корни R1и R2

Для аппроксимаций или фактических значений найдите любые два корня, а два других даются расширенным квадратным уравнением, которое я представил в Кубические полиномы — более простой подход в приложении Quartic следующим образом:

Где от A до E — коэффициенты и постоянный член функции y=Ax⁴ +Bx³+Cx²+Dx+Eи k и l известные факторы (-корнеплоды). Примечание: k или lможно назначить =0и E=0 в этом примере. Я надеюсь, что этот пост помог вам придумать другой способ заставить математику работать на вас; не ты за это!

p.s. Если вас также интересуют новые способы нахождения корней четвертой степени, вам может понравиться предыдущая публикация Корни многочлена четвертой степени — с помощью квадратичной математики и SOSO.