- Разновидности хордовых диаграмм, когомологии групп кос и вырождение условий равенства(arXiv)
Автор :Виктор А. Васильев
Аннотация:Для любого конечномерного векторного пространства F непрерывных функций f:R1→R1 мы рассматриваем подпространства в F, определяемые системами {\em условий равенства} f(ai)=f(bi) для различных наборы пар точек ai,bi∈R1. Если F является общим и его размерность достаточно велика по сравнению с n, то {\bf любые n независимых условий этого типа определяют подпространство коразмерности ровно n в F.} Наоборот, мы доказываем, что это свойство обязательно нарушается, если dimF‹2n− I(n), где I(n) — количество единиц в двоичной записи числа n. В частности, если n является степенью числа 2, то минимальная размерность F, для которой может выполняться это свойство, равна 2n−1. Мы также даем оценки снизу размеров неизбежных капель коразмерностей этих пространств. Например, если n=N≥6 или n≥10,N=n+1, то для любого N-мерного функционального пространства F существуют системы из n независимых условий равенства, для которых эта коразмерность не больше n−2. Это исследование мотивировано теорией узлов: системы условий равенства известны в ней как хордовые диаграммы, а необщие (т.е. определяющие подпространства нестандартных размерностей) системы являются единственным возможным источником узлов, не разделенных инвариантами конечного типа. Ключевые слова: хордовая диаграмма, конфигурационное пространство, характеристический класс.
2.Комбинаторика древовидного функционального уравнения для связных хордовых диаграмм(arXiv)
Автор :: Лукас Набергалл
Аннотация: мы основываемся на недавней работе Йейтса, Куртиэля и других авторов, включающей диаграммы связных хорд. Сначала мы выводим из алгебраической основы Хопфа класс древовидных функциональных уравнений и доказываем, что они решаются с помощью взвешенных производящих функций двух различных подмножеств взвешенных связных хордовых диаграмм: произвольных диаграмм и диаграмм, запрещающих так называемые поддиаграммы верхнего цикла. Эти уравнения обобщают классическую спецификацию возрастающих упорядоченных деревьев, а их решение использует новую декомпозицию, упрощающую и обобщающую предыдущие результаты. Полученная в результате древовидная перспектива хордовых диаграмм приводит к новым выводам о перечислении благодаря изучению новых классов диаграмм. Мы представляем рекурсивную биекцию между связными диаграммами без циклов с n хордами и триангуляциями круга с n + 1 вершиной, тем самым считая первые. Это соединяется с комбинаторными картами, каталонскими интервалами и уникально отсортированными перестановками, что приводит к новым предполагаемым биективным отношениям между классами диаграмм, определяемыми запретом графических поддиаграмм и навязыванием свойств связности, а также множеством других богатых комбинаторных объектов. В заключение мы покажем и изучим прямую биекцию между диаграммами размера n с одной концевой хордой и диаграммами размера n−1.
3. Скорость сходимости предельных теорем в случайных хордовых диаграммах(arXiv)
Автор:Дж. Э. Пагуйо
Аннотация: хордовая диаграмма представляет собой набор из n хорд, соединяющих различные конечные точки на окружности. Мы изучаем асимптотические распределения числа пересечений и числа простых хорд в случайной хордовой диаграмме. Используя связь смещения размера и метод Штейна, мы получаем ограничения на расстояние Вассерштейна между распределением числа пересечений и стандартной нормалью. Мы также даем верхние и нижние границы того же порядка для полного вариационного расстояния между распределением числа простых хорд и пуассоновской случайной величиной
