Геометрическое объяснение косинусного подобия
Точечный продукт - одна из самых фундаментальных концепций машинного обучения, которая появляется почти везде.
Одним из наиболее важных приложений является измерение сходства между векторами признаков.
Но как связаны сходство и внутренний продукт? Определение мало что раскрывает. В этом посте наша цель - разгадать скалярное произведение и дать простое геометрическое объяснение!
Основные свойства скалярного произведения
Чтобы увидеть, какое отношение имеет скалярный продукт к подобию, у нас есть три ключевых наблюдения.
Во-первых, мы видим, что он линейен по обеим переменным. (Это свойство называется билинейностью.)
Во-вторых, скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю.
В-третьих, скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его величины.
Вооружившись этими свойствами, мы готовы исследовать, как измеряется сходство!
Точечный продукт как сходство
Предположим, что у нас есть два вектора, x и y. Чтобы увидеть геометрическую интерпретацию их скалярного произведения, сначала отметим, что x можно разложить на сумму двух компонентов: один параллелен y, а другой - ортогонален. .
Итак, скалярное произведение x и y равно произведению с xᵧ и y. Если мы запишем xᵧ как скалярное, кратное y, мы сможем многое упростить.
Мы можем пойти еще на один шаг вперед. Если мы предположим, что и x, и y имеют величину, равную единице, то скалярное произведение равно коэффициенту масштабирования!
Обратите внимание, что этот коэффициент масштабирования находится в интервале [-1, 1]. Оно может быть отрицательным, если направления xᵧ и y противоположны.
А теперь самое интересное! r имеет простое геометрическое значение. Чтобы убедиться в этом, давайте проиллюстрируем, что происходит. (Напомним, мы предположили, что x и y имеют величину, равную единице.)
Поскольку косинус определяется отношением смежной стороны и гипотенузы, оказывается, что коэффициент масштабирования r также равен косинусу угла между x и у.
Это причина того, что косинусное подобие определяется таким образом.
Я надеюсь, что этот небольшой пост поможет вам разобраться в этой концепции, и, вооружившись этими знаниями, вы станете более уверенным в работе с ней!
