Матрица

Прежде чем мы попытаемся понять Матрицу, мы должны познакомиться с Векторами, поскольку Матрица — это просто несколько векторов, соединенных вместе.

В статье основное внимание уделяется только понятиям, необходимым для науки о данных, а не всем понятиям матриц.

Матрица

Матрица представляет собой набор векторов, объединенных вместе. Каждый столбец матрицы представляет вектор, а каждая строка представляет элементы вектора.

Представление

Матрица представлена заглавной буквой, A — Z. Элементы в матрице представлены строчными буквами, a — z, с количеством строк, за которым следует количество столбцов.

Типы матрицы

Матрица столбцов

Это просто матрица с одним столбцом.

Матрица строк

Это просто матрица всего с 1 строкой.

Нулевая или нулевая матрица

Все элементы матрицы равны 0.

Квадратная матрица

Матрица с равным количеством строк и столбцов.

Диагональная матрица

Все элементы кроме диагонали равны 0.

Диагональная матрица, в которой все значения по диагонали равны 1, называется Единичной или Идентификационной матрицей.

Существует несколько других типов матриц, таких как скалярная матрица, верхняя треугольная матрица, нижняя треугольная матрица, симметричная матрица и антисимметричная матрица, но мы не нужно слишком зацикливаться на них.

Операции

Добавление

Мы можем добавить 2 или более матриц только в том случае, если количество строк и столбцов обеих матриц одинаково.

вычитание

Мы можем вычесть 2 или более матриц только в том случае, если количество строк и столбцов обеих матриц одинаково.

Умножение

Скалярное умножение

Каждый элемент матрицы умножается на скалярное значение.

Характеристики

Вот некоторые свойства скалярного умножения.

Умножение матриц

Умножение возможно только тогда, когда количество столбцов в первой матрице и количество строк во второй матрице равны.

Каждый элемент строки первой матрицы умножается на каждый элемент столбца второй матрицы.

Это также известно как Скалярный продукт для матриц.

Характеристики

Вот некоторые свойства умножения матриц.

Транспонировать

Заменим строки матрицы на столбцы, а столбцы на строки. Перестановка строк и столбцов называется транспонированием матриц.

Характеристики

Вот некоторые свойства транспонируемых матриц.

определитель

Определитель дает нам скалярное значение, и его можно вычислить только для квадратной матрицы.

Обратите внимание на последовательность +,-,+… при вычислении определителя.

Обратный

Обратной квадратной матрицей, иногда называемой обратной матрицей, является такая матрица, что .

Чтобы вычислить обратную матрицу, нам нужно понимать Минор, Кофактор и Присоединение матриц. Для целей науки о данных нам не нужно вдаваться в такие детали.

Продукт Адамара

Произведение Адамара или поэлементное произведение берет две матрицы одинаковых размеров и создает другую матрицу того же размера.

Эшелон Форма

Матрица находится в форме эшелона, если она удовлетворяет следующим свойствам.

Любые строки, если таковые имеются, из всех нулей являются последней строкой.

2. Каждая ведущая запись строки находится в столбце справа от ведущей записи в строке над ней.

3. Все записи в столбце ниже ведущей записи равны нулю.

Строка (столбец) Форма эшелона

Помимо вышеперечисленных свойств, здесь есть еще одно важное свойство, т. е. первый ненулевой элемент в каждой строке (столбце), называемый ведущей записью, равен 1.

Форма эшелона с уменьшенной строкой (столбцом)

Помимо вышеперечисленных свойств, здесь есть еще одно важное свойство, т. е. первая запись в каждой строке (столбце) является единственной ненулевой записью в своем столбце (строке).

Классифицировать

Ранг — одно из важных понятий в «Матрице». Это помогает нам определить линейность в матрице. Ранг сообщает нам максимальное количество линейно независимых столбцов или строк в матрице.

Чтобы вычислить ранг, мы сначала проверяем, равен ли определитель матрицы 0 или нет.

Если |А| != 0, то ранг матрицы равен количеству строк матрицы.
Если |А| = 0, мы преобразуем матрицу в ступенчатую форму, сокращая строки до тех пор, пока это не может быть дальше.