Правило Крамера, объясненное геометрически — 3Blue1Brown
Что такое правило Крамера?
Правило Крамера – это метод, использующий детерминанты для решения систем уравнений, в которых такое же количество уравнений, что и переменных.
Предположим, у нас есть такая система уравнений:
Мы можем представить это с помощью матриц и векторов.
Мы можем начать с определения новой матрицы Aᵢ(b), которую можно получить, заменив столбец iᵗʰ матрицы A вектором b.
Правило Крамера: когда матрица A обратима, решение x может быть представлено как xᵢ:
Например,
Поэтому, используя наш пример, нам сначала нужно проверить, не равен ли определитель 0.
Теперь мы знаем, что наша матрица A является обратимой матрицей.
Вновь определенная матрица Aᵢ(b) будет выглядеть так:
Определитель каждой матрицы будет:
Решение будет:
Почему это правило работает именно так?
Используя определитель, мы можем лучше понять правило Крамера.
Допустим, у нас есть,
и мы хотим найти соответствующий вектор x.
Исходное состояние перед преобразованием (применением матрицы A) будет выглядеть так:
Здесь мы собираемся представить координаты x и y вектора x особым образом, используя параллелограммы.
‹Координата Y›
Мы можем сказать, что координата y вектора x — это просто y, но эта область параллелограмма также может представлять координату y вектора x (до преобразования), потому что она умножается на единичный вектор i-hat (длина = 1).
‹Координата X›
Мы можем сказать, что координата х вектора х — это просто х, но эта область параллелограмма может также представлять координату х вектора х (до преобразования), потому что она умножается на единичный вектор j-шляпы (длина = 1).
Что, если мы применим здесь линейное преобразование?
‹Координата Y›
Определитель говорит нам о том, насколько изменилась система. Также площадь нашего параллелограмма изменится на величину определителя.
Таким образом, новый параллелограмм будет: det(A) * y
Таким образом, координата y может быть записана как:
И чтобы вычислить Signed Area₂, мы можем вычислить определитель между масштабированной i-шляпой и положением приземления j-шляпы масштабированного вектора x. Таким образом, окончательная координата y вектора x, который мы пытаемся найти, будет такой:
‹Координата X›
Определитель говорит нам о том, насколько изменилась система. Также площадь нашего параллелограмма изменится на величину определителя.
Таким образом, новый параллелограмм будет: det(A) * x
Таким образом, координата y может быть записана как:
И чтобы вычислить Signed Area₂, мы можем вычислить определитель между посадочной позицией i-шляпы масштабированного вектора и масштабированной j-шляпой. Таким образом, окончательная координата x вектора x, который мы пытаемся найти, будет такой:
Заключение
что то же самое, что:
Теперь мы знаем, как работает правило Крамера в геометрической прогрессии.
