Это 2-я часть этой статьи Понимание сущности исчисления. Если вы ее не читали, то ознакомьтесь с 1-й частью этой статьи отсюда.

4. Что приводит к идее ОГРАНИЧЕНИЙ

Прежде чем перейти к вопросу «что такое пределы? ” лучше знать, что побуждает математиков выводить понятие пределов, а для этого нам нужно снова вернуться в очень древние времена Греции, где философ по имени «Зино», работавший над некоторыми парадоксы, которые заставляют его думать, как выбраться из этих парадоксов. Хорошо, начнем сначала….

Зенон Элейский, древнегреческий философ, прославившийся изобретением ряда парадоксов, в которых аргументы кажутся логичными, но выводы которых нелогичны или противоречивы. Одним из самых известных является «парадокс дихотомии Зенона», что в переводе с древнегреческого означает «парадокс разделения пополам».

Что это за дихотомический парадокс:

После напряженного рабочего дня Зенон решает прогуляться от своего дома до парка, чтобы подышать свежим воздухом. Чтобы добраться до парка, он сначала должен пройти половину пути до парка. Это займет некоторое конечное количество времени, как только он доберется до половины пути от своего дома, ему нужно пройти половину оставшегося расстояния. Опять же, это займет конечное количество времени. Как только он туда доберется, ему все равно придется пройти половину оставшегося расстояния, что займет еще конечное количество времени. Это происходит снова и снова и снова.

Вы можете видеть, что мы можем продолжать идти так вечно, разделяя оставшееся расстояние на все более и более мелкие части, каждая из которых требует некоторого конечного времени для прохождения. Итак, сколько времени нужно Зенону, чтобы добраться до парка?

Проблема в том, что таких кусков конечного размера бесконечно много. Итак, не должно ли общее время быть бесконечностью? Этот аргумент, кстати, совершенно общий. В нем говорится, что путешествие из любого места в любое другое место должно занимать бесконечное количество времени. Другими словами, он говорит, что всякое движение невозможно. Этот вывод явно абсурден, но где изъян в логике?

Чтобы разрешить парадокс, полезно превратить историю в математическую задачу. Предположим, что дом Зенона находится в одной миле от парка и Зенон ходит со скоростью одна миля в час. Здравый смысл подсказывает нам, что время в пути должно составлять один час. Но давайте посмотрим на вещи с точки зрения Зенона и разделим путешествие на части.

Первая половина пути занимает полчаса, следующая часть — четверть часа, третья часть — восьмая часть часа и так далее. Суммируя все эти времена, мы получаем ряд, который выглядит так. «Теперь, — мог бы сказать Зенон, — поскольку в правой части уравнения бесконечно много членов, а каждый отдельный член конечен, сумма должна равняться бесконечности, верно?» В этом проблема с аргументом Зенона. Как с тех пор поняли математики, можно сложить бесконечно много терминов конечного размера и все же получить конечный ответ.

"Как?" ты спрашиваешь. Что ж, давайте подумаем об этом так. Начнем с квадрата площадью один метр. Теперь разрезаем квадрат пополам, а затем оставшуюся половину разрезаем пополам и так далее. Пока мы это делаем, давайте следить за площадями частей.

Первый срез состоит из двух частей, каждая из которых имеет площадь, равную половине. Следующий срез делит одну из этих половин пополам и так далее. Но независимо от того, сколько раз мы разрезаем коробки, общая площадь все равно будет суммой площадей всех частей. Теперь вы понимаете, почему мы выбрали именно этот способ разрезания квадрата. Мы получили тот же бесконечный ряд, что и во время путешествия Зенона.

По мере того, как мы строим все больше и больше синих фигур, говоря языком математики, по мере того, как мы берем предел, когда n стремится к бесконечности, весь квадрат покрывается синим цветом. Но площадь квадрата всего одна единица, поэтому бесконечная сумма должна равняться единице. Возвращаясь к путешествию Зенона, мы теперь можем видеть, как разрешается парадокс. Мало того, что бесконечный ряд суммируется с конечным ответом, но этот конечный ответ — тот самый, который здравый смысл подсказывает нам как истинный. Путешествие Зенона занимает один час.

5. Понимание концепции ОГРАНИЧЕНИЙ

Пределы.Предел — это математическая концепция, основанная на идее близости, используемая в основном для присвоения значений определенным функциям в точках, где значения не определены, таким образом, чтобы они соответствовали ближайшим значениям для пример :

Вышеупомянутая функция не определена, когда x =1 , потому что деление на ноль не является допустимой математической операцией. Для любого другого значения x числитель можно разложить на множители и разделить на (x-1), что даст x+1. Таким образом, это частное равно x+1 для всех значений x, кроме 1, которое не имеет значения. Однако 2 можно присвоить функции

не как его значение, когда x = 1, а как его предел, когда x приближается к 1.

Что это значит ?? я все еще в замешательстве

Пределы означает «Приближение». Иногда мы не можем что-то проработать напрямую, но мы можем видеть, как это должно быть, подходя все ближе и ближе…

Теперь 0/0 - это сложность! На самом деле мы не знаем значения 0/0 (оно неопределенно), поэтому нам нужен какой-то способ ответить на этот вопрос. Поэтому вместо того, чтобы пытаться решить это для x = 1, давайте попробуем подойти к нему все ближе и ближе.

Из вышеизложенного подхода мы можем сделать два вывода:

  1. Когда x = 1, мы не знаем ответа, так как это будет 0/0, что неопределенно.
  2. Но мы можем видеть, что по мере того, как мы приближаемся к 1, результирующее значение будет все ближе и ближе к 2.

Таким образом, ответ в приведенном выше примере равен «2», но не может, поэтому вместо этого математики точно говорят, что происходит, используя специальное слово «Предел».

И это математически выражается как:

Таким образом, это особый способ сказать «не обращая внимания на то, что происходит, когда мы туда добираемся, но по мере того, как мы подходим все ближе и ближе, ответ становится все ближе и ближе к 2».

Примечание. Мы не можем сказать, каково значение при x=1. Но мы можем сказать, что по мере приближения к 1 предел равен 2.

Протестируйте обе стороны

Предположим, мы едем в гору, а затем находим путь «Не там»… но если мы проверим только с одной стороны, то мы не знаем, что произойдет на другом конце.

Лимит должен быть одинаковым с обеих сторон.

Давайте проанализируем другое уравнение, чтобы понять приведенное выше утверждение, где предел данного выражения, когда x приближается к 2.

Мы можем построить приведенные выше функции следующим образом:

Мы можем видеть, что по мере приближения к точке, где x = 2, увеличиваются ли значения x до 2 (что называется «при приближении слева») или значение x уменьшается до 2 (что называется «приближение справа»), на графике значения y все ближе и ближе к 4.

Мы также можем посмотреть на таблицу, чтобы понять это правильно.

Когда она разная с разных сторон

Рассмотрим другую функцию f(x) с «разрывом» в ней следующим образом:

Когда мы приближаемся к x = 3 слева, функция приближается к 4. Когда мы приближаемся к x = 3 справа, функция приближается к 6.

Мы не можем сказать, какое значение при x=3, потому что есть два конкурирующих ответа. Но мы можем использовать специальные знаки «-» или «+» для определения односторонних пределов:

  1. Левый предел (-) равен 4
  2. Правый предел (+) равен 6

Примечание. Когда предел не приближается к одному и тому же значению с обеих сторон, мы говорим, что предела не существует.

Приближаясь к бесконечности

Бесконечность — это особая идея. Мы знаем, что не можем достичь этого, но мы все же можем попытаться вычислить значение функций, содержащих бесконечность, используя концепцию пределов.

Мы не знаем, как ответить на поставленный выше вопрос. Простая причина в том, что Бесконечность — это не число, это идея. Может быть, мы могли бы сказать, что ответ на поставленный выше вопрос равен 0… но есть проблема в том, что предположим, если мы разделим 1 на бесконечные части, и мы говорим, что каждая из них в конечном итоге будет равна 0… тогда что случилось с 1?

Но мы можем подойти к этому, используя концепцию пределов…

Давайте попробуем с большим и большим значением x, чтобы увидеть, как ведет себя эта функция, поскольку мы продолжаем увеличивать значение x:

Теперь мы можем видеть, что по мере того, как значение x становится больше, 1/x стремится к 0, как мы также можем сделать вывод из графика.

Мы хотим дать ответ «0», но не можем, поэтому вместо этого математики использовали термин «Предел», чтобы ответить на такие вопросы.

Я знаю, что большинство из вас будут такими, когда мы начнем с исчисления, которое используется в области науки о данных, но прямо сейчас мы разрабатываем наши прочные основы, так что, как только мы начнем с концепции, получим лучшее представление о том, что исчисление пытается решить. Но наберитесь терпения "Все будет лучше"... до вашего пути к исчислению :)

Понимание концепции наклона и касательных

Наклон также называется градиентом линии, который описывает как «Направление», так и «Крутизна линии».

Откуда вы знаете крутизну, когда вы поднимаетесь или двигаетесь вниз с горы, вы сравниваете ее с двумя точками, чтобы проверить, какова крутизна в одной точке по сравнению с другой точкой. Так же, как и для расчета уклона, для него требуется 2 балла.

Наклон рассчитывается путем нахождения отношения «изменения по вертикали» к «изменения по горизонтали» между (любыми) двумя удаленными точками на линии. Это соотношение также называется «Подъем к пробегу». Крутизна, наклон или градиент линии измеряются абсолютным значением уклона. Наклон с большим абсолютным значением указывает на более крутую линию. Направление линии может быть возрастающим, убывающим, горизонтальным или вертикальным.

  • Линия увеличивается, если она идет вверх слева направо. Наклон положительный.
  • Линия убывающая, если она идет вниз слева направо. Наклон отрицательный.
  • Если линия горизонтальная, наклон (градиент) равен нулю. Это постоянная функция.

Обратите внимание: не имеет значения, какую из двух формул «наклона» вы используете, а также не имеет значения, какую точку вы выберете в качестве «первой. strong>» и который вы выберете в качестве «второго».

Единственная вещь, которая имеет значение, это то, что вы вычитаете свои x-значения в том же порядке, в котором вы вычитали свои y -значения.

Ссылка:

  1. https://amsi.org.au/ESA_Senior_Years/SeniorTopic3/3b/3b_4history_2.html
  2. https://www.youtube.com/watch?v=axZTv5YJssA
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Исчисление
  4. https://www.youtube.com/watch?v=IMj5dgGWxSM&list=WL&index=2
  5. https://marktomforde.com/academic/miscellaneous/calculus-history/calchistory.html
  6. https://www.manchester.ac.uk/discover/news/indians-predated-newton-discovery-by-250-years/
  7. https://www.youtube.com/watch?v=ObPg3ki9GOI
  8. https://www.youtube.com/watch?v=OmJ-4B-mS-Y
  9. https://byjus.com/maths/relations-and-functions/
  10. https://intl.siyavula.com/read/maths/grade-12/functions/02-functions-02
  11. https://www.javatpoint.com/типы-функций
  12. http://mathonline.wikidot.com/разные-типы-функций
  13. https://ximera.osu.edu/math/calc1Book/calcBook/incDec/incDec
  14. https://en.wikipedia.org/wiki/Четные_и_нечетные_функции
  15. https://www.chilimath.com/lessons/intermediate-алгебра/четные-и-нечетные-функции/
  16. https://www.mathsisfun.com/calculus/limits.html
  17. https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-2/a/limits-intro
  18. https://www.ted.com/talks/colm_kelleher_what_is_zeno_s_dichotomy_paradox/transcript?language=en