Лучше понимать периодические данные с помощью преобразования Гильберта
Мотивация
В других статьях мы исследовали применение преобразования Фурье для разложения частотных составляющих сигнала.
Однако преобразование Фурье мало что говорит нам о временной или пространственной динамике исходного сигнала. Мы знаем, какие частоты составляли наш первоначальный сигнал, но не когда/где были эти частоты или как они развивались на протяжении время. Давайте начнем устранять этот недостаток, создав наш набор инструментов для цифровой обработки сигналов! Здесь мы рассмотрим простое применение преобразования Гильберта к сигналу с действительным знаком, чтобы понять его практическую важность.
Почему это важно для специалиста по данным? Легкий! Когда мы работаем с периодическими данными, нас часто больше всего интересует динамика фазы и амплитуды, а не необработанные значения. От хронобиологии до науки о климате преобразование Гильберта имеет решающее значение для осмысления данных.
Образец сигнала
Чтобы продемонстрировать применение преобразования Гильберта, давайте рассмотрим простой непрерывный импульс (CW).
В этом фрагменте кода первый косинус определяет постоянную частоту несущей волны. Функция синуса масштабирует эту несущую, модулируя импульс по амплитуде.
Действительные и мнимые компоненты преобразования Гильберта
На Рис. 1a показан смоделированный непрерывный импульс. Как и ожидалось, сигнал является действительным и включает в себя одну амплитуду постоянной частоты, модулированную более низкой частотой.
Действительные и мнимые компоненты значений, возвращаемых преобразованием Гильберта, показаны на рис. 1b. Вызов преобразования Гильберта для нашего сигнала с действительным знаком… сложен! Реальный компонент идентичен нашему входному импульсу. Воображаемый компонент, однако, является дубликатом со сдвигом по фазе.
Оценка фазы и магнитуды
Итак, преобразование Гильберта добавляет к нашему сигналу мнимую составляющую… Почему? Кроме того, не могли ли мы сами просто сдвинуть импульс по фазе?
Мы перейдем к почему? через мгновение, но прежде чем мы продолжим, стоит ответить на второй вопрос. Мы, конечно, могли бы! Помните, однако, что мы придумали этот простой сигнал, чтобы продемонстрировать механику. Правильно сдвинуть фазу сигнала с произвольными частотными компонентами может быть непросто! Оставляем это в качестве упражнения читателю 😉
Теперь к волшебству! Давайте рассмотрим фазу и величину комплексных результатов преобразования Гильберта.
Введение этого сдвинутого по фазе дублирующего сигнала в качестве мнимой составляющей позволяет нам непрерывно измерять фазу и амплитуду! Если вам нужно освежить в памяти то, что фаза и амплитуда отражают в этом контексте…
- https://towardsdatascience.com/the-fourier-transform-3-magnitude-and-phase-encoding-in-complex-data-8184e2ef75f0
- https://towardsdatascience.com/mind-your-is-and-q-s-the-basics-of-i-q-data-d1f2b0dd81f4
Хотя значения фазового угла не имеют смысла для стационарных переднего и заднего хвостов сигнала с нулевым значением, они показывают ожидаемую свернутую фазовую прогрессию для длительности импульса (рисунок 2a).
Используя информацию об амплитуде, которую мы восстановили с помощью преобразования Гильберта, мы можем построить «огибающую» сигнала: гладкую кривую, ограничивающую сигнал (Рисунок 2b).
Заключение
Преобразование Гильберта расширяет наш набор инструментов DSP и позволяет нам оценивать фазу и амплитуду входного сигнала. При работе с амплитудно-модулированными сигналами это критично! Если вы взглянете на источник, поддерживающий мою статью о расшифровке сигналов NOAA, вы увидите, что преобразование Гильберта играет центральную роль.
Далее я расскажу, как можно использовать вейвлеты для восстановления информации о частоте при сохранении временной/пространственной информации! Спасибо за прочтение!
