Начало исчисления
Это вторая часть из серии статей, в которых моя цель - научить исчислению с нуля.
Вы можете найти первую здесь.
Самая фундаментальная и важная концепция для понимания в математике - это предел.
Как и в случае со многими другими объектами математики, пределы можно понять с самых разных уровней. В этой статье я постараюсь предоставить вам несколько различных уровней понимания, чтобы вы могли понять внутреннюю работу исчисления по мере того, как мы продвигаемся по этой теме.
Как вы увидите в следующих статьях, ограничения столь же важны для исчисления, как числа для арифметики и формы для геометрии. Поэтому мы должны убедиться, что действительно очень хорошо понимаем пределы, прежде чем продолжить.
Введение в лимиты
Предел - это в некотором смысле то, на что это похоже. Все дело в некоторой последовательности чисел, которая все ближе и ближе к определенному числу.
Зачем нам это нужно?
Что ж, представьте, что у вас есть функция f (x) = sin (x) / x. Посмотрим на его график:
Это выглядит как хорошая функция с хорошим поведением, также при x = 0. Но подождите ... Как определить эту функцию при x = 0? Все мы давно узнали, что нельзя делить на ноль. Это самый незаконный поступок в математике!
А вот очень красивый график этой функции. Чтобы правильно определить эту функцию, нам действительно нужно определить ее при x ≠ 0 и при x = 0 отдельно, потому что да, вы не можете делить на ноль.
Но вы можете спросить себя, есть ли значение, которое имеет смысл в качестве выхода для этой функции в 0. В частности, есть ли значение, которое делает функцию непрерывной в 0? Несмотря на то, что нам не разрешено подключать 0, нам разрешено позволить x быть произвольно близким к 0 в выражении sin (х) / х.
Тогда возникает естественный вопрос:
Есть ли смысл бесконечно приближаться к числу?
Давайте подумаем, как мы могли бы сделать это математически более точным. Мы хотели бы получить математическое определение того, что мы подразумеваем под «приближением» или «идет к некоторому числу».
Предположим, у нас есть бесконечная последовательность действительных чисел:
Тогда можно сказать, что действительное число L является пределом этой последовательности, если верно следующее:
Независимо от того, насколько маленькое число я выберу, скажем ε ›0, вы можете дать мне достаточно большое число, так что если я выберу любое число больше, чем это, скажем n, то n'th элемент приведенной выше последовательности имеет расстояние до L меньше ε.
Другими словами, последовательность сколь угодно близка к L. На математическом языке мы можем сформулировать сказанное выше следующим образом.
но опять же, вам не нужно понимать это определение эпсилон-дельта. Пределы лучше всего узнавать на практике.
Мы обозначаем предел двумя разными способами. Выше можно написать
но тогда вы должны знать, что предел существует, потому что в противном случае это не имеет никакого смысла. Другой распространенный способ написать то же самое:
однако здесь предел может не существовать, то есть L может быть бесконечным. Вы можете ограничить не только последовательности, но и функции в целом. Итак, в общем случае, если f - функция с действительным знаком, а c - действительное число, мы пишем:
Вы должны думать об этой нотации как о вычислении f как c, если возможно, или как о числе, «бесконечно близком к» c. Конечно, вы знаете, что на самом деле происходит определение эпсилон-дельта.
Вопрос в том, как рассчитать лимиты?
В некоторых случаях ответ очевиден. Например, совершенно очевидно, что если c ≠ 0, то
Но если c = 0, то нужно быть осторожным. Функция 1 / x не является непрерывной в 0, поэтому предел зависит от того, каким образом мы приближаемся к 0. Если мы приближаемся к 0 сверху (справа), то ответ будет ∞. однако, если мы подойдем к 0 снизу (слева), то ответ будет -∞.
Давайте обратимся к нашей проблеме выше с f (x) = sin (x) / x. Нам не разрешено подключать 0, но мы можем позволить x приближаться к 0 в выражении. Но как на самом деле рассчитать предел?
Оказывается, есть много решений этой проблемы. Но все они зависят от инструмента, называемого деривативами, и я не предполагаю, что читатель знаком с деривативами (хотя я знаю, что многие из вас знакомы). В конце концов, это введение в исчисление, а мы еще не говорили о производных, поэтому нам нужно найти другой способ вычисления этого предела.
Подумайте немного о функции синус.
Он берет число, соответствующее углу θ, и вычисляет длину противоположной стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичный круг.
Давайте попробуем представить, что произойдет с выходом, если мы позволим θ стать очень близким к 0.
Мы видим, что sin (θ) также очень близок к 0, но когда мы действительно думаем об этом, мы видим, что они делают это примерно с той же скоростью. Другими словами, кажется, что соотношение между длиной противоположной стороны треугольника и углом θ становится близким к 1, когда угол приближается к 0.
Фактически, это можно сделать точным, и мы уточним это в следующей статье, используя производные, ряд Тейлора и правило, называемое правилом Л'Опиталя.
Теперь мы можем определить нашу функцию:
Удивительно то, что эта функция не только непрерывна в 0, но и дифференцируема в 0.
Мы никоим образом не закончили с ограничениями. Они пронизывают математический анализ и все его дисциплины как упрямый старый друг, от которого мы, кажется, не можем избавиться. В следующих статьях, по мере того, как мы созреем, мы будем развивать инструменты для расчета пределов, такие как
Истории из этой серии на данный момент (по порядку):
