Что приходит вам на ум, когда вы видите уравнение плоскости? Как вы это интерпретируете? Это критическая концепция в машинном обучении. Я хочу показать вам, как уравнение может полностью представить плоскость в вашей спальне. 😃
Что такое самолет?
Если совсем простым языком, то плоскость в нашем трехмерном мире — это прямая бесконечно длинная вещь, которая делит пространство на две половины. Вот фиктивный пример:
На картинке выше представьте бесконечно длинный предмет, который действует как разделитель между дорогой и травой. Надеюсь, у вас есть приблизительное представление, и этого пока достаточно. Теперь представьте себе самолет прямо сейчас рядом с вами, когда вы читаете эту статью, готово? Большой! 🙌
Если бы я захотел узнать этот ваш самолет, который вы только что вообразили, как бы вы мне сказали? Я не могу проникнуть в твой мозг, верно? И ты не можешь сделать фотографию, потому что она в твоем воображении, ха-ха. Вот почему вам нужно уравнение для представления плоскости, чтобы другие могли использовать его в машинном обучении, искусственном интеллекте и т. д.
Создание уравнения плоскости:
Во-первых, нам нужна исходная точка O, скажем, место, где вы сейчас сидите, является нашей исходной точкой O в (x = 0, y = 0, z = 0 → 3 прекрасных измерения).
Нам нужны только две вещи, чтобы представить нашу плоскость, есть предположения?
1. Расстояние → Как далеко эта плоскость от начала координат O?
em>
2. Направление → В каком направлении находится плоскость из начала координат O?
Мы будем использовать приведенное выше изображение в качестве эталона.
Первое, о чем вы должны подумать, это то, как далеко находится плоскость от начала координат O.
Чтобы сделать это, представьте Вектор X, который является частью бесконечно длинной плоскости, этот специальный вектор прекрасно сочетается с направлением плоскости.
И ДА, расстояние этого вектора X from the origin O расстояние плоскости от начала координат, здравый смысл, а?
Круто, теперь у нас есть расстояние от плоскости из-за вектора X, который мы только что представили.
Далее нужно знать направление самолета. Мы точно знаем, что самолет может смотреть в любом направлении, верно?
Снова нам понадобится помощь другого специального вектора, называемого Вектор нормалей, чтобы получить направление плоскости. Готовый?
На изображении выше предположим, что вы представили себе вектор нормали (зеленый цвет), который идет в том же направлении, в котором вы смотрите, если это так, то ваша плоскость (желтый цвет) будет перпендикулярна этому вектору нормали (под углом 90 градусов к самолет). Теперь обобщим.
Какое бы направление вы ни представляли для вектора нормали, направление вашей плоскости будет перпендикулярно этому вектору нормали, хорошо? Я имею в виду, что мы знаем, что мы уже представили вектор X на плоскости, поэтому, по сути, вектор нормали перпендикулярен вектору X? Подумайте об этом некоторое время.
Отлично, у нас есть оба вектора (нормальный вектор и вектор X), которые могут полностью представлять плоскость.
Быстрый вопрос: Что происходит, когда два вектора перпендикулярны друг другу? Да, их скалярный продукт равен нулю. Таким образом, мы можем написать:
W = вектор нормали (скажем, трехмерный)
X = вектор X (скажем, трехмерный)
Следовательно, W.X=0
Теперь, если плоскость не проходит через начало координат O, вам, возможно, придется внести некоторые коррективы и добавить этот дополнительный бит, который находится вдали от начала координат.
Давайте назовем этот дополнительный бит как перехват w0 и добавьте его к нашему уравнению выше.
W.X + w0 = 0
Потрясающая работа! Мы вычислили уравнение плоскости, которое только что представили, и обобщили его выше. Что ж, если вы расширите скалярное произведение между W.X, вы получите что-то вроде этого:
w1.x1 + w2.x2 + w3.x3 + w0 = 0 (пример для трех измерений)
А если вы забыли, почему в правой части уравнения стоит ноль, то напомню, что когда два вектора перпендикулярны друг другу, их скалярное произведение равно нулю. 😅
Отличная работа! Теперь мы понимаем основы уравнения плоскости.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ:
- В общем, нам нужно всего два вектора, чтобы полностью найти плоскость.
- Первый вектор X, лежащий на плоскости, используется для определения расстояния плоскости от начала координат.
- Вектор нормали, который перпендикулярен плоскости, используется для определения направления плоскости от начала координат.
- И поскольку вектор нормали и вектор X перпендикулярны, мы берем скалярное произведение между ними, что дает нам уравнение плоскости.
- Вектор нормали и вектор X могут иметь любую размерность, одну или две или даже 100+. Уравнение линии останется прежним.
Следуйте за мной, я только начинаю. Спасибо за прочтение, Удачи! 🍻
СВЯЗАТЬСЯ СО МНОЙ:
Электронная почта: [email protected]
LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/sauravgupta20
