"Вероятность"

Законы вероятности — учебник для специалистов по обработке и анализу данных и инженеров по машинному обучению

Реальная жизнь — это книга, в каждой главе которой есть вероятность.

Что такое вероятность?

Вероятность – это мера неопределенности.

Реальный мир предполагает принятие решений на каждом этапе, но часто решения должны основываться на неполной информации, где вероятность приходит как спаситель. Это одна из основных причин, по которой вероятность широко используется в большинстве приложений машинного обучения.

Используя вероятность, можно смоделировать все элементы неопределенности. Алгоритмы машинного обучения разработаны с использованием вероятности, и они также принимают решения с использованием вероятности.

После столь подробного знакомства с вероятностью мы можем перейти прямо к теме.

Эта запись будет охватывать:

1. Закон вероятности сложения

2. Вероятностный закон умножения.

3. Условная вероятность

4. Независимое мероприятие и многое другое

Итак, давайте начнем.

Дополнительный закон

Если А и В являются невзаимоисключающими событиями (два события считаются невзаимоисключающими, если они имеют шансы произойти одновременно)

И если A и B являются взаимоисключающими событиями (два события считаются взаимоисключающими, если у них нет шансов произойти одновременно)

Тот же закон для трех событий можно представить в виде:

Не взаимоисключающие события

Взаимоисключающие события

Вышеупомянутый закон также может быть продлен более чем на три события, если это необходимо.

Закон умножения вероятности

Для любых двух событий А и В

Также,

где P(B|A) — условная вероятность B при условии, что A уже

произошло, а P(A|B) — условная вероятность A при условии, что B

уже произошло.

Этот же закон можно распространить на 3 или более событий, как показано ниже.

Условная вероятность

После прохождения вышеприведенного закона умножения вероятности становится совершенно ясно, что условная вероятность может быть представлена ​​​​в виде:

P(A|B) — условная вероятность появления A при условии, что B имеет

уже произошло, т. е. здесь А происходит в зависимости от условия В.

и

P(B|A) — условная вероятность появления B при условии, что A имеет

уже произошло, т. е. здесь B возникает в зависимости от условия A.

P(A|B) относится к выборочному пространству B, а не к S, и P(B|A) относится к выборочному пространству A, а не к S.

Примечание. P(A|B) имеет смысл только тогда, когда P(B) не равно 0, т. е. когда событие B не является невозможным событием и

P(B|A) имеет смысл только тогда, когда P(A) не равно 0, т. е. когда событие A не является невозможным событием.

Давайте разберемся с условной вероятностью на примере.

Рассмотрим карту, взятую из колоды из 52 игральных карт. Пусть A будет событием вытягивания карты дамы черного цвета. Тогда конечно

P(A) = 2/52, так как у нас есть 2 карты черной дамы в колоде из 52 карт.

Теперь пусть B будет событием вытягивания карты пики.

P(B) = 13/52

так как всего 52 карты содержат 13 пик и мы знаем, что B уже произошло, следовательно, имеется 13 исчерпывающих случаев, а не 52, как раньше. Среди этих 13 карт пики есть 1 карта дамы черного цвета и, следовательно, вероятность наличия карты дамы черного цвета при условии, что это карта пики, т. Е. P (A | B) = 1/13, что является условным вероятность А при условии, что Б уже произошло.

Независимое мероприятие

События называются независимыми, если наступление или ненаступление какого-либо одного события не влияет наступление или ненаступление других событий.

Очень распространенным примером в этом случае является монета, т. е. если монету подбрасывают определенное количество раз, то выпадение орла в любом испытании не зависит от любого другого испытания, т. е. все испытания являются говорят, что они независимы.

Еще один важный момент, на который следует обратить внимание: два события A и B называются независимыми тогда и только тогда, когда P(B|A) = P(B), т. е. даже если A уже произошло, это не влияет на вероятность из B. Один из примеров для рассмотрения:

пусть A — событие выпадения орла при четвертом подбрасывании монеты, а B — событие выпадения орла при 5-м подбрасывании монеты. Тогда вероятность выпадения орла при 5-м броске равна 1/2, независимо от того, известен ли результат 4-го броска, т. е. P(B|A) = P(B).

Теперь давайте представим закон умножения для независимых событий:

Это потому, что если A и B независимы, то P(B|A) = P(A) и P(A|B) = P(B).

Точно так же, если A, B и C — три независимых события, то

Этот закон также может быть распространен более чем на три события.

Здесь следует отметить один очень важный момент: взаимоисключающие события не могут быть независимыми, потому что если два события исключают друг друга, то они не происходят одновременно и, следовательно, не являются независимыми.

Еще один важный закон вероятности

Если А и В — независимые события, то вероятность наступления хотя бы одного из событий определяется выражением:

Теперь резюмируем основные моменты.

Сводка

Надеюсь, это помогло.

Спасибо за прочтение!

Вы можете подписаться на меня как на Medium, так и на

LinkedIn: Суприя Гош

Твиттер: @isupriaghosh