В последних статьях мы определили матрицу и рассмотрели некоторые свойства и операции, связанные с ней. В этой статье мы представим линейные системы и способы их представления в матричной форме. В следующей статье мы увидим некоторые методы решения линейных систем с использованием матриц.
Содержание:
- Что такое линейное уравнение?
- Что такое система линейных уравнений?
- Линейная система в матричной форме
1. Что такое линейное уравнение?
Для n переменных 𝒙₁, 𝒙₂,… 𝒙𝑛 определяется линейное уравнение, которое можно выразить в виде:
Где 𝒂₁, 𝒂₂,…,𝒂𝑛 (не все равны нулю) и 𝗯 — константы.
2. Что такое система линейных уравнений?
Система линейных уравнений или просто линейная система – это набор линейных уравнений.
Например, линейная система из трех уравнений будет иметь вид:
- Определим решение линейной системы с n неизвестными 𝒙₁, 𝒙₂, 𝒙₃, …, 𝒙𝑛 как последовательность n numbers 𝒔₁, 𝒔₂, 𝒔₃,…, 𝒔𝑛, для которого замена: 𝒙₁ = 𝒔₁, 𝒙₂ = 𝒔₂, 𝒙₃ = 𝒔₃,…, 𝒙𝑛 =𝒔𝑛 делает каждое уравнение истинным утверждением.
- Эти решения могут быть представлены в виде упорядоченного n-кортежа, например: (𝒔₁,𝒔₂,𝒔₃,…,𝒔𝑛).
- Линейная система называется непротиворечивой, если она имеет хотя бы одно решение, и непротиворечивой, если не имеет решения.
- Линейная система называется однородной, если все постоянные члены 𝒃₁, 𝒃₂, 𝒃₃, …, 𝒃𝒎 равны нулю. Оно всегда непротиворечиво, потому что имеет как минимум решение: (𝒔₁,𝒔₂,𝒔₃…𝒔𝑛) = (𝟢,𝟢,𝟢,…,𝟢), которое называется тривиальным решением. Она также может не иметь тривиального решения.
3. Линейная система в матричной форме
Если у нас есть следующая линейная система:
Мы можем представить это в виде матриц, например:
Где:
Матрица 𝑚×𝑛 A — это матрица коэффициентов линейной системы, вектор 𝑛×1 X — вектор неизвестных, а вектор 𝑚×1 b — вектор констант.
Поскольку мы записываем линейную систему в матричной форме, мы можем использовать свойства матрицы для решения этой линейной системы. Наиболее распространенные методы решения линейной системы с использованием матрицы:
- Исключение по Гауссу
- Исключение Гаусса-Джордана
- Разложение LU
- Правило Крамера
В следующей части мы увидим, как использовать эти методы для решения линейной системы.
Если вы считаете эту статью полезной, пожалуйста, аплодируйте и подпишитесь», чтобы узнать больше о вероятности. , линейная алгебра, исчисление, машинное обучение, глубокое обучение, …
Все статьи по линейной алгебре находятся здесь.
Вы также можете найти мои статьи по теории вероятностей здесь.