Идея стресса фон Мизеса была впервые предложена Максимилианом Хубером в 1904 году. Однако реальное внимание она привлекла только в 1913 году, когда Ричард фон Мизес снова предложил ее. Хотя оба они предложили только математическое уравнение, именно Генрих Хенки развил идею напряжения фон Мизеса как разумную физическую интерпретацию.
Начнем с рассмотрения простого испытания на одноосное растяжение изотропного и пластичного образца.
Как показано на рис. 01, материал начинает упруго деформироваться до предела упругости (или предела текучести), после чего следует некоторая «уступчивость», «утяжение» и, наконец, разрушение при предельном напряжении.
Эта точка (или напряжение), при которой поведение материала переходит от упругого к пластическому, известна как «предел текучести». Мы часто говорим, что материал поддается, если напряжение превышает предел текучести. Однако важно отметить, что напряжение является тензором, а не отдельным числом (или скаляром). Допустим, материал тянулся в направлении х-х. Технически правильно сказать, что материал начинает поддаваться, когда х-х компонент напряжения больше, чем предел текучести.
Однако в реальных приложениях тензоры напряжений являются более общими и не обязательно одноосными. Вероятно, что каждая компонента тензора напряжений отлична от нуля. Как в таком случае можно сказать, что материал начал поддаваться? Или как мы можем спроектировать компоненты так, чтобы можно было быть уверенным, что мы находимся в пределах предела производительности? Что это за скалярное число, которое мы можем использовать для сравнения с пределом текучести, найденным экспериментально?
Важная терминология в моделировании пластичности и неупругости
Чтобы двигаться дальше, необходимо понять некоторые существенные и часто используемые термины в области моделирования пластичности и неупругости. Тензор напряжений имеет шесть независимых компонент и может быть разложен на объемную (или гидростатическую) и девиаторную части. Точно так же тензор деформации также может быть разложен на аналоги деформации.
Математически объемную деформацию и напряжение можно определить как одну треть следа тензора деформации и напряжения. Разница дает девиаторное напряжение.
Объемная деформация полностью соответствует изменению объема объекта без каких-либо изменений общей формы. Это похоже на масштабирование объекта. Напротив, девиаторная деформация соответствует наблюдаемым эффектам сдвига и деформации.
Энергия искажения и напряжение фон Мизеса
Теперь, когда мы понимаем идею объемных и девиаторных деформаций, мы можем двигаться вперед и определить энергию искажения.
Мы всегда должны помнить, что механическое поведение материалов также регулируется двумя законами термодинамики. Согласно первому закону термодинамики энергия не создается и не уничтожается. Он только преобразуется из одной формы в другую. Итак, при действии на тело механической силы (или при приложении заданного перемещения) к телу совершается некоторая работа. Эта энергия запасается в виде энергии напряжения в теле. Плотность энергии деформации определяется как:
Другими словами, это полная энергия деформации, запасенная в каждом дифференциальном объеме тела. Если эту энергию деформации просуммировать по всем дифференциальным объемам (или, иначе, это называется интегрированием по всему объему), мы можем получить общую энергию деформации, запасенную в теле.
Из этой общей энергии часть идет на изменение объема материала (или объемную деформацию) и иначе известна как объемная энергия. Остальная энергия используется для искажения формы материала и иначе известна как девиаторная энергия. Напряжение фон Мизеса связано с этой общей составляющей напряжения, входящей в энергию искажения. Или в математических терминах:
где индексы v и d обозначают объемную и девиаторную части соответственно. Однако произведение любого объемного и девиаторного тензора всегда равно нулю. Таким образом, плотность энергии деформации уменьшается до:
где полную энергию можно записать в терминах объемной и девиаторной частей. Теперь мы можем переписать энергию девиаторной деформации через «скалярное репрезентативное напряжение» следующим образом:
Репрезентативным напряжением здесь является напряжение фон Мизеса. Выведя лист из одномерного напряженного состояния, напряжение фон Мизеса можно переписать как:
Основное напряжение
Следующим важным вопросом для рассмотрения является идея главных напряжений. В общей ситуации напряжение представляет собой полную симметричную матрицу. В этой ситуации сложно принимать проектные решения, учитывая данные простых одноосных экспериментов. Однако в любой ситуации найдется плоскость, подвергающаяся чисто объемному нагружению. Вращение общего тензора напряжений приводит к диагональной матрице. Диагональные элементы известны как главные напряжения.
Критерий текучести фон Мизеса
Выведенный выше термин с квадратным корнем из 2/3 для репрезентативного или «фон-мизесовского» стресса выглядит знакомым! Три основных напряжения можно рассматривать как координаты, а результирующее напряжение фон Мизеса можно нанести на график.
Рис. 02 иллюстрирует критерий текучести в пространстве главных напряжений. Любое напряженное состояние можно преобразовать в три главных напряжения, которые, если рассматривать три координаты, напряжения фон Мизеса для различных комбинаций приводят к цилиндрической поверхности, как показано на рис. 02.
Другими словами, это означает, что если напряженное состояние в какой-либо точке находится на цилиндре, то материал в этой точке конструкции начал деформироваться. Точно так же критерий текучести Трески определяется на основе максимально возможных нормальных и касательных напряжений, которые может выдержать материал.
Вывод
Чаще всего конструкции состоят из таких материалов, как сталь, которые перед разрушением демонстрируют пластическую деформацию и текучесть. Всегда предпочтительнее проектировать конструкции так, чтобы они находились в пределах предела упругости и не деформировались. Хотя большинство экспериментов представляют собой простые условия нагружения (например, одноосное растяжение), проектировщики часто не могут понять, как это может быть связано с типичными условиями нагружения, наблюдаемыми в реальности.
Напряжение фон Мизеса, хотя это и звучит фантастично, — это всего лишь метрика измерения, позволяющая определить, начала ли конструкция прогибаться в какой-либо точке. Напряжения, рассчитанные в любой точке, могут быть математически записаны в виде скалярной величины, известной как напряжение фон Мизеса, которую затем можно сравнить с экспериментально наблюдаемыми пределами текучести.
Если вы хотите узнать больше об анализе методом конечных элементов с помощью программного обеспечения для моделирования, вот статический анализ напряжения бампера Toyota Hilux, выполненный на 100% в веб-браузере. Просто создайте бесплатную учетную запись сообщества здесь и скопируйте эту симуляцию, чтобы использовать ее в качестве шаблона.
Чтобы увидеть облачное моделирование в действии, посмотрите запись вебинара Структурный анализ велосипедной рамы с помощью МКЭ, заполнив эту короткую форму.
Первоначально опубликовано на https://www.simscale.com 19 апреля 2017 г.
