Это вторая часть поста, состоящего из двух частей, демонстрирующего практическую важность учета как нелинейностей, так и временных зависимостей при оценке риска портфеля, чего не может сделать широко распространенный коэффициент корреляции (Пирсона).

В Части I мы представили базовое введение в корреляцию Пирсона, ее связь с линейной регрессией и бета портфеля, а также ее ограничения в отношении измерения зависимости между активами.

В этом посте мы приводим эмпирические доказательства того, что i.i.d. Допущение Гаусса для доходности активов не применимо к акциям и фьючерсам США, и мы представляем альтернативу корреляции Пирсона, а именно корреляцию с поправкой на информацию, которая измеряет связь между временем рядов (не случайных величин), при этом полностью улавливая нелинейности и, что более важно, временные структуры. Затем мы используем корреляцию с поправкой на информацию, чтобы построить теоретико-информационную альтернативу (CAPM) бета портфеля относительно рынка, которую мы называем бета-версией с поправкой на информацию .

Измерение связи временных рядов с теорией информации

Примечание. Все логарифмы в этом разделе основаны на основании 2.

Энтропия как мера неопределенности

Объем информации, содержащейся в сложной системе, моделируемой как случайная величина, обычно определяется как степень неопределенности в связанной с ней случайной величине.

Измерение степени неопределенности случайной величины - это проблема, столь же стара, как и сама теория информации. Каноническим решением этой проблемы является понятие информации энтропии, введенное Клодом Шенноном, отцом теории информации. , в своей основополагающей статье Математическая теория коммуникации, в которой он сосредоточился на дискретных случайных явлениях (т.е. тех, которые принимают счетное число значений).

Понятие информационной энтропии, введенное Шенноном для дискретных случайных величин, позже было обобщено на любую случайную величину.

Важной связанной мерой является так называемая условная энтропия. Интуитивно понятно, что условная энтропия случайной величины y при заданном x является количество информации / неопределенности, которая остается в отношении случайной величины y с учетом случайной величины x.

В частности, это разница между величиной неопределенности (или энтропии) в y и x вместе, и степень неопределенности выражается в x.

Как показано на диаграмме Венна выше, объем информации, содержащейся в y и x вместе, редко бывает сумма количества информации, содержащейся в y и содержащейся в x, поскольку между y и x.

Одним из преимуществ использования энтропии в качестве меры информации является тот факт, что условная энтропия y с учетом x никогда не превышает энтропию y, и , они равны, если и только y и x независимы (т.е. нет никакой связи между ними, линейной или нелинейной).

В отличие от корреляции Пирсона, условная энтропия фиксирует как линейные, так и нелинейные связи между случайными величинами.

Связанная мера связи - взаимная информация между y и x , определяемая как разница между энтропией y и условной энтропией y при x, который, как следует из названия, отражает объем информации, совместно используемой между y и х.

Как оказалось, эта величина совпадает с формальной и популярной статистической мерой того, насколько далеко мы были бы, если бы предположили, что y и x независимы, а именно так называемое расхождение Кульбака-Лейблера.

Короче говоря, даже если мы предположим, что доходность активов является i.i.d., мы можем позаимствовать из теории информации, чтобы построить меру связи, которая, в отличие от корреляции Пирсона, полностью отражает как линейные, так и нелинейные связи.

Скорость энтропии как мера информации во временных рядах

Представление о времени играет слишком важную роль в экономике и на финансовых рынках, чтобы полагать, что порядок не имеет значения и что одно и то же случайное явление продолжает повторяться. Проще говоря, предположение, что доходность является i.i.d., чаще всего неверно. Естественной вероятностной абстракцией для моделирования финансовых рынков является понятие случайного процесса или временного ряда, а не понятие случайной величины.

Временной ряд - это, по сути, набор случайных величин с отметками времени.

К счастью, понятия энтропии и условной энтропии распространяются на временные ряды с помощью понятий скорости энтропии временного ряда.

и условная скорость энтропии временного ряда при другом

Их интерпретации очень похожи. Коэффициент энтропии измеряет количество информации, производимой в единицу времени временным рядом. условный коэффициент энтропии измеряет количество новой информации, произведенной временным рядом за единицу времени, которая еще не содержится в другом временном ряду.

Подобно случаю случайной величины, разница между скоростью энтропии временного ряда и его условной скоростью энтропии для другого временного ряда отражает количество информации, совместно используемой между двумя временными рядами в единицу времени.

Важно отметить, что понятие условной скорости энтропии выходит далеко за рамки линейных ассоциаций выборок, соответствующих одному и тому же времени, и фиксирует любую связь между двумя временными рядами, линейную или нелинейную, и сквозь время.

Парная инкрементная диверсификация как мера зависимости между активами

В нашей Желтой книге мы определяем степень диверсификации, которую один актив добавляет к другому, как временную шкалу взаимной информации (обратную скорости взаимной информации) временных рядов доходности:

Интуитивно это количество можно интерпретировать как количество времени, которое в среднем потребуется, чтобы увидеть 1 бит общей информации между двумя активами (или, что эквивалентно, их временные ряды доходности). Чем менее связаны два актива, тем больше времени потребуется для наблюдения 1 бита взаимной информации между временными рядами их доходности. Точно так же, чем больше связаны два актива, тем меньше времени потребуется, чтобы увидеть 1 бит взаимной информации между ними.

Постепенная диверсификация всегда положительна и варьируется от 0 (когда один временной ряд доходности может быть полностью определен по другому) до + ∞ (когда два временных ряда доходностей независимы).

От постепенной диверсификации к корреляции с поправкой на информацию

Внимательный читатель наверняка заметил, что мы не делали никаких конкретных предположений о распределении, чтобы гарантировать, что наше понятие возрастающей диверсификации полностью отражает любую форму связи между двумя временными рядами доходности, линейной или нелинейной, в в одно и то же время или в разные периоды времени. Более того, можно оценить возрастающую диверсификацию на основе эмпирических данных без каких-либо предположений о произвольном распределении (см. Желтую книгу для более подробной информации).

Итак, вот в чем дело. Мы знали, что в случае i.i.d. Гауссиан, корреляция Пирсона достаточна для характеристики любой формы ассоциации, линейной или иной. Возникает вопрос: какова функциональная связь между постепенной диверсификацией и корреляцией Пирсона в случае i.i.d. Гауссианцы? Оказывается, ответ доступен в закрытом виде:

Мы также можем задать обратный вопрос. Учитывая, что мы знаем, как точно оценить возрастающую диверсификацию, какому коэффициенту корреляции Пирсона будет соответствовать оценочная величина дополнительной диверсификации при i.i.d. Гауссовское предположение? Ответ на этот вопрос, полученный путем обращения приведенного выше уравнения, - это то, что мы называем корреляцией с поправкой на информацию.

Затем мы можем независимо оценить корреляцию Пирсона и сравнить ее с корреляцией с поправкой на информацию. Если гауссовский i.i.d. предположение верно, то два значения должны быть близки друг к другу!

Простой и практичный тест Черного лебедя

Звучит неплохо, но где же черные лебеди, спросите вы! Что ж, если есть какой-то практический вывод из этого поста, вот он:

  • Прочтите нашу Желтую книгу, чтобы узнать, как оценить ACorr на основе данных.
  • Случай 1: ACorr ≈ Corr: Если вы заметите, что корреляция с поправкой на информацию (приблизительно) равна корреляции Пирсона, то i.i.d. Допущение Гаусса выполняется, и вы можете доверять своему любимому линейному i.i.d. факторная модель.
  • Случай 2: | ACorr | ‹| Corr |: Извините, но в вашем коде есть ошибка! Это невозможно математически.
  • Случай 3: | ACorr | ›› | Corr |: Красный флаг! В вашем портфеле есть большой риск того, что ни корреляция Пирсона, ни ваша любимая линейная i.i.d. учитывается факторная модель, которая сильно укусит вас при больших рыночных движениях. Любой ваш портфель в этих активах, который, по вашему мнению, является рыночно-нейтральным, вероятно, вообще не является рыночно-нейтральным!

Все ли имеет значение? Вы уверены, что это так!

Как обсуждалось ранее, если мы построим график корреляции с поправкой на информацию против корреляции Пирсона для некоторых пар активов, любое значительное отклонение от линии y = x будет убедительным признаком того, что i.i.d. Гауссовское предположение о доходности активов неверно.

Что ж, давай сделаем это. Давайте рассмотрим в качестве совокупности активов составляющие S&P 100 и 60 наиболее ликвидных фьючерсов США (первый месяц, непрерывно корректируемый с помощью метода обратного соотношения). Для каждой пары активов во вселенной мы вычисляем как корреляцию Пирсона между их дневной доходностью, так и скорректированную с учетом информации корреляцию между их дневной доходностью, наносим одно против другого на диаграмму рассеяния и получаем следующую диаграмму.

Давайте проанализируем график.

Наблюдение 1: Мы видим, что чем ближе корреляция Пирсона к 1 (соответственно -1), тем ближе корреляция с поправкой на информацию до 1 (соответственно -1). В этом есть интуитивный смысл. Корреляция Пирсона фиксирует линейные связи между доходностью, соответствующей одному и тому же времени. Убедительные доказательства этой конкретной формы связи действительно подразумевают убедительные доказательства связи между лежащими в основе временными рядами доходностей, что и фиксирует корреляция с поправкой на информацию.

Наблюдение 2: однако мы видим, что корреляция с поправкой на информацию не достигает 0, поскольку корреляция Пирсона становится равной 0. Интуитивно, отсутствие доказательств линейной связи между дневной доходностью, соответствующей одному и тому же времени (т. е. слабая корреляция Пирсона) в целом не подразумевает доказательства отсутствия связи между двумя основными временными рядами дневной доходности. Это верно в частном случае совместно гауссовских белых шумов, но, конечно, не в целом. В общем, могут быть и другие формы ассоциаций (например, нелинейные ассоциации, временные зависимости и т. Д.), Которые будут улавливаться корреляцией с поправкой на информацию, но не корреляцией Пирсона.

Тот факт, что приведенная выше диаграмма рассеяния значительно отклоняется от линии y = x, является достаточным эмпирическим доказательством того, что i.i.d. Допущение Гаусса не подходит для ежедневной доходности акций и фьючерсов США!

Основное наблюдение. Вы видите пары с нулевой корреляцией Пирсона на вертикальной оси? Ни у одного из них нет 0 корреляции с поправкой на информацию! Корреляция Пирсона 0 между ликвидными биржевыми активами США может скрывать до 0,3 «реальной» корреляции, которая может возникать только из-за нелинейностей (т. Е. Толстых хвостов) или временных зависимостей (т. Е. Эффектов бабочки), оба из которых могут быть источником события черного лебедя.

В основном линейный i.i.d. факторные модели не точно отражают риск ликвидных акций и фьючерсов США!

Бета-версия портфеля с корректировкой на информацию

Как обсуждалось в Части I, (CAPM) бета портфолио можно получить как

Простое обобщение этой меры для выявления как нелинейных, так и временных зависимостей между доходностью портфеля и доходностью рынка получается путем замены корреляции Пирсона корреляцией с поправкой на информацию. Мы называем полученный показатель бета-версией портфеля с корректировкой на информацию.

Прямым следствием приведенного выше обсуждения является то, что портфель с нулевым бета-коэффициентом, скорректированным с учетом информации, имеет временные ряды доходности, независимые от рыночных, и, следовательно, является действительно независимым. от рынка, действительно нейтрально для рынка.

Заключительные слова

В нашей Желтой книге мы представляем теоретико-информационную альтернативу корреляции Пирсона, а именно корреляцию с поправкой на информацию, которая полностью фиксирует нелинейности и временные зависимости между временем серия возвратов без модельного стиля.

Мы используем корреляцию с поправкой на информацию для построения альтернативы бета-версии CAPM портфеля, а именно бета-версии с поправкой на информацию, которая учитывает любые связь между портфелем и рынком (линейная и нелинейная, одновременно или во времени).

Мы проиллюстрируем, что i.i.d. Допущение Гаусса для доходности активов несовместимо с эмпирическими данными по акциям и фьючерсам США, что свидетельствует о практической важности предлагаемых альтернатив с поправкой на информацию.

Важно отметить, что мы проиллюстрировали корреляцию Пирсона, бета-версию CAPM и другие i.i.d. линейные факторные модели могут скрыть значительный финансовый риск, который проявится в виде событий черного лебедя.